数学建模第六章数值分析模型.ppt

数学建模（Mathematical Modeling) 黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室 函数逼近问题 设y = f(x)，若对以函数y = f(x)来说 ① 其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达式； ② 解析表达式很复杂，不便分析。 问题：能否构造一个较为简单的函数P(x)近似地表示f(x)。这就是函数逼近问题。 上述函数f(x)称为被逼近函数，P(x)称为逼近函数。 逼近方式有两种：插值和拟合。 在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或测量得到的某一函数 在一系列点 处的值 ,需要构造一个简单函数 作为函数 的近似表达式: ,使得 这类问题称为插值问题. 一、插值基函数与Lagrange插值 1. 简单情形 (1) n = 1时. 设 yi = f(xi) i = 0，1. 作直线方程： 令： 称 为两点式插值或线性插值。 (2) n = 2时. 设yi = f(xi)i = 0，1，2. 令： 称 为三点式插值或抛物插值。 2. 推广 n = 1时，记 则 n=2时，记 则 一般地令 则 lj(x) (j = 0，1，2，…，n)为n次多项式 称为Lagrange插值基函数， 为Lagrange插值多项式。 函数的调用格式为 xx=75.5 [Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx) 得到的结果为： Y =2.8005 Phi =(13*x)/200 - 2107/1000 (7*x)/100 - 2487/1000 (19*x)/250 - 2949/1000 (83*x)/1000 - 699/200 (91*x)/1000 - 4127/1000 1.汽车沿弯路行驶,车轮转着打滑,车滑向路边. 2.车轮所受摩擦力作用在汽车速度的法线方向上,并充当转弯时的向心力. 3.车速V为常量,汽车重心沿半径为r的圆运动. 本章小结 本章介绍常用的数值分析算法，插值法、曲线拟合和非线性方程求根的迭代法，利用这些数值方法解决实际问题。旨在使大家对数值分析方法解决实际问题有一个初步的了解。 将方程 等价变形为 ，若要求满足 的根 ，等价的是求 使得 ，称 与 同解；反之亦然。这时的 称为是函数 的一个不动点。求方程 的根等价于求 的不动点。 不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (6.3.1) 其中函数 称为迭代函数.如果对任意 由式（6.3.1）产生的序列 有极限 则称不动点迭代法（6.3.1）收敛. 黑龙江科技学院 数 学 建 模 　1、简单迭代法 x y o 是否对于任意的等价形式 该迭代法都是收敛的？什么情况下收敛？ 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 定理6.3.1 (不动点存在性定理) 设 满足以下两个条件: （1）对任意 ，有 （2）存在正常数 使对任意 都有 则 在 上存在惟一的不动点 定理6.3.2 （不动点迭代法的全局收敛性定理）设 满足定理6.3.1中的两个条件,则对任意 得到的迭代序列 由(6.3.1)式 收敛到 的不动点，并有 误差估计 式 和 黑龙江科技学院 数 学 建 模 理学院 定理6.3.3（不动点迭代法的