数学建模课堂(部分例题分析).ppt

（6）火箭结构的优化设计 前面假设(ii)有点强加的味道。现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。 记： 则 等价于 的条件极值。 利用Lagrange乘子法，设Lagrange函数 火箭结构优化设计讨论中我们得到与 假设（ii）相符的结果，这说明前面 的讨论都是有效的！ 求解易得 且 求解得 于是有 解1. 离散模型 设该动物的原始体重为w(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题目可设1卡热量可增加1/10000kg体重。w(n)为第n天的体重。（n=1）可得关系式 w(n)=w(n-1)＋(2500-1200－16w(n-1))/10000 递推得 另外一种整理方法 w(n+1)-w(n)=(1- )(w(n)-w(n-1)) 令 c(n)=w(n)-w(n-1) 则c(n)为以(1 - )为公比的等比数列 c(n)= (1- ) c(n-1)=… = c(1) 利用Matlab画出不同初始值的图形如下 解2. 连续模型 设该动物t时刻的体重为x(t)，原始体重为x(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题意得 整理后得 求解得 极限情况 问题的推广 每天得到的热量和基本的新陈代谢热量依 赖于体重的变化； 每天每公斤的体重需要再消耗； 每天热量的变化与体重有关; 每天基本热量的消耗与体重有关; 每天单位体重消耗的热量与年龄有关； …… 崖高的估算 显然这是不符合实际的，实际情况是未知者会从传播中得知，传播率为h，而有一部分人虽知消息，但不轻信，不去传播，于是可设不传播率为r，则数学模型可修正为 这样的结论表明： 随着时间的增长，消息慢慢地会淡化， 这是符合实际情况的。 一条河宽1km，两岸各有城镇A与B，A与B的直线距离为4km，今需铺设一条电缆连结A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸为平行的直线，问应如何架设电缆方可使总的修建费用最少? 电缆铺设设计 注意到下岸的过河地点可以自由选取，将起点选在A点最方便。设电缆到上岸的横坐标为 x ，目标函数为 这就是该实际问题的数学模型，解决方法：作图或描点;一元函数求极值;或： 问题就转化为在 时求使得目标函数最小的x 等价于 几何方法 过点B作BM与BC成30°夹角，过A作AM⊥MB, 过C作CN⊥BM. 根据单位长度地下与水下电缆修建费用之比为1∶2的关系，有CN=CB/2, 故问题等价于AC+CN最短，由于AC+CNAM,所以当C与P重合时最短。由此求得P点的坐标为 动物体重的变化问题 某动物从食物中每天得到2500卡的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每公斤的体重需要再消耗16卡。假如它每增加1公斤体重需要10000卡的热量。问该动物的体重怎样变化? 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器。 记崖高为h 假定空气阻力不计，可以利用自由落体运动的公式来计算。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 简单想法 例如， 设测得时间为t=4秒， g=9.81米/秒2，则可求得 h ≈78.5 (米) 进一步考虑 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数 r 为常数。 由牛顿第二定律可得： 令k=r/m，解得 (1) 若设k=0.05,并仍设 t=4秒，则可求得h ≈73.6米。 令k→ 0 + ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果 * 为什么要用三级火箭来发射人造卫星 为什么不能用一级火箭,而必须用多级火 箭来发射人造卫星? 为什么一般都采用三级火箭系统？ （1）卫星能在轨道上运动的最低速度 为什么不能用一级火箭发射人造卫星? （i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此 轨道上作匀速圆周运动； （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的 引力忽略不计。 假设： 分析： 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力