数学物理方程1数学建模和基本原理介绍.ppt

* 解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变动, 则称该定解问题的解是稳定的，否则称它的解是不稳定的。因为定解条件中的一些已知量，通常总是利用实验得到的数据，不可避免地会有一定的误差，所以人们自然会关心定解条件的微小扰动是否会导致解的变化很大。 适定性：一个定解问题存在唯一稳定的解，则 此问题是适定的。否则就称它为不适定的。 * 由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到 不适定的问题。 例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的 温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的 温度分布才能达到此目的？ 这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题 的反问题。 通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的 一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分 方程的一个重要的研究方向。 * 1.3 叠加原理 1.3.1 叠加原理(superposition principle) 在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。 例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛。 1.如果几个电荷同时存在,它们电场就互相叠加,形成合电场.这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和,这叫做电场的叠加原理. 2.点电荷系电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时,在该点产生的电势的代数和,称为电势叠加原理. * 线性问题和非线性问题的最根本区别就是：线性问题的解满足叠加原理，而非线性问题的解一般来讲不满足叠加原理。 * 设 是任意两个常数， 是两个具有二阶连续偏导数的函数，简记为 则有 设自变量为 x、y（或者x、t），未知函数u(x,y)， 则二阶线性偏微分方程的一般形式为 记 算符 为 通常称 为二阶偏微分算子，易证 是线性算子。 * 再介绍三个二阶线性偏微分算子： 叠加原理 1 设 是二阶线性偏微分算子， 为n个任 意常数， 为平面区域 内的n个已知函数 若 在区域 内是如下方程的解 则方程 * 可解，且 是（8）在区域 内的一个解。 注1 叠加原理1对三元函数 u(x,y,z)情况也成立，此时， 注2 叠加原理1讨论的是自由项 的叠加性。例如方程 只需解出方程 ,其解分别为 ，则原方程解为 注3 叠加原理1讨论的自由项 是有限和。 * 如果该级数在区域 内收敛，且相应的解 在区域 内也收敛而且可以逐项求一阶和二阶偏导数， 相应的二阶偏导数的级数在区域 内一致收敛，此时叠加原理1 的结论仍成立。此条对下面的叠加原理也成立。 注4 线性定解问题，如果边界条件是齐次的，叠加原理也成立。 弦振动方程混合问题中，考虑如下的波算子定解问题 边界条件是齐次的。可分解为下面三个齐次边界条件的定解问题 对于无穷级数 * * 叠加原理2 若定解问题（10）（11）（12）的解分别为 ，则 是定解问题（9）的解 * 对波算子定解问题（9），自由项f是有限和，如果是级数，就有 叠加原理3 定解问题（9），设 如果对每个 是如下问题的解 则 是定解问题（9）的解。 * 弦振动方程混合问题中，不是齐次边界条件的波算子定解问题 介绍边界条件的齐次化问题，即将 化为零。 第一步，选取 满足 最简单的是取 第二步，令 。则有 为齐次边界条件，定解问题（9）。 * 例1 求方程 的任意一个解。 解：由叠加原理1，只需分别求出如下三个方程的解 易求出： 和 。所以 是原方程的一个解。 * 令 ，则原方程 化为 例2 求如下定解问题中的方程齐次化 解：由上例， 是方程的一个解， * 定理 1（齐次化原理） 用 表示以 为初值的 的定解问题（12）的解，则初值问题（10）和（11）的解 可以表示为 其中