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金文璨 2007201230
作业6.1
一． 题目
有一个中空的无限长棱柱，其横截面如图所示，棱柱壁是金属的，棱柱中是金属
棒，在金属棒和外壁上分别加电压，计算金属棒和棱柱壁之间的电场，画出等势
线，电势和电场的分布。
二． 算法
金属棒为等势体，金属棒和外壁之间的区域内，电势满足Laplace 方程。解电势
φ(x,y)的Laplace 边值问题：
2 2
∂ φ ∂ φ
∆φ= 2 + 2 = 0
∂x ∂y
φ(x=±1,y)=0；φ(x,y= ±1) = 0
φ(x, y) = 1;x∈ [−0.3.0.3],y∈ [−0.3.0.3]
用差分法表示：
u + u + u + u
i+1,j i−1, j i, j−1 i, j+1
u =
i,j 4 （*）
u = 0,u = 0,u = 0,u = 0
0, j N, j i,0 i,N
u = 1; x ∈ [−0.3,0.3], y ∈ [−0.3,0.3]
i, j i i
1
金文璨 2007201230
利用边值，对（*）式进行迭代，迭代足够的次数后，结果收敛，得到稳定的数
值解。
三． Fortran程序
PROGRAMLAPLACE
IMPLICIT NONE
REALu(21,21)
REALx,y
INTEGER i,j,k
REALh=0.1
OPEN(1,file=LAPLACE.txt)
DOi=1,21
DOj=1,21
u(i,j)=0 ! 中间区域的初值，不妨设为0
ENDDO
ENDDO
DOi=1,21
u(i,1)=0
u(i,21)=0 ! 外壁的边值
u(1,i)=0
u(21,i)=0
ENDDO
DOi=8,14
DOj=8,14
u(i,j)=1.0 ! 金属棒的边值
ENDDO
ENDDO
DOk=1,10000 ! 迭代次数
DOi=2,7
DOj=2,20
u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j))
ENDDO
ENDDO
DOi=8,20
DOj=2,7
u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j))
ENDDO
ENDDO
2
金文璨 2007201230
DOi=8,20
DOj=15,20
u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j))
ENDDO
ENDDO
DOi=15,20
DOj=8,14
u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j))
ENDDO
ENDDO
ENDDO
DOi=1,21
DOj=1,21
x=-1+(i-1)*h
y=1-(j-1)*h
WRITE(1,*)x,y,u(i,j)
ENDDO
ENDDO
CLOSE(1)
ENDPROGRAM
四． 计算结果可视化
(1) 电势的分布图：3D图中，X,Y为横纵坐标，Φ(x,y)为电势。
3
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