2013-2014学年高中数学34生活中的优化问题举例教案新人教A版选修1-1.doc

3.4生活中的优化问题举例 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题． 2．过程与方法 让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法． 3．情感、态度与价值观 形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力． ●重点、难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握． (教师用书独具) ●教学建议 教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点． ●教学流程 引导学生分析用导数求最值问题，发现其为解决优化问题提供了思路．????? (对应学生用书第64页) 课标解读 1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点) 2．灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．(难点) 导数在实际问题中的应用 　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 【问题导思】　 　优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？ 【提示】　函数的最大、最小值． 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．  (对应学生用书第64页) 面积体积的最值问题 　用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【思路探究】　 设自变量 (高)为x―→―→ ―→ 【自主解答】　设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)． 所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)． 令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)． 当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的； 当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的． 因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3. 1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法： (1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零． (2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等． 　将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？ 【解】　设弯成圆的一段铁丝长为x cm，则另一段长为(100－x) cm，正方形的边长为a＝cm，圆的半径r＝ cm. 记正方形与圆的面积之和为S， S＝π()2＋()2＝x2－x＋625(0＜x＜100)． 又S′＝x－， 令S′＝0，则x＝. S是关于x的二次函数，由其性质可知当x＝cm时，面积之和最小． 用料最省、费用最低问题 图3－4－1 　某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m) 【思路探究】　(1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？ 【自主解答】　依题意，有 xy＋·x·＝8， 所以y＝＝－(0＜x＜4)， 于是框架用料长度为 l＝2x＋2y＋2()＝(＋)x＋. l′＝＋－. 令l′＝0，即＋－＝0，解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)． 当0＜x＜8－4时，l′＜0；当8－4＜x＜4时，l′＞0， 所以当x＝8－4时，l取得最小值． 此时，x＝8－4≈2.343 m，y≈2.828 m. 即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省． 1．本