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2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业142空间图形的公理2]
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课时提升作业(五)
空间图形的公理(公理4、定理)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.
2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN.
所以EF∥HG.
3.(2014·焦作高一检测)有下面说法:
①若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
②若a∥b,则a,b与c所成的角相等;
③若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
其中正确的个数是( )
A.0 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.①③中a,c异面、平行、相交都可能,只有②正确.
【拓展延伸】学好立体几何的好帮手——长方体模型
长方体是立体几何中常见的模型之一,许多点、线和面的关系的例子可以从中寻找,我们的教室就可以抽象成一个长方体,墙角是长方体的顶点,墙面是长方体的面,墙的边就是长方体的棱,学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.
4.(2014·阜阳高一检测)如图,空间四边形ABCD中,AE=2BE,BF=CF,CG=2GD,DH=AH,则四边形EFGH为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
【解析】选A.由题意=,=,
所以==,
所以EFAC,同理HGAC,
所以EFHG.
所以四边形EFGH为平行四边形.
5.如图,平面α与平面β交于EF,C∈EF,C′∈EF,ACα,A′C′α,BCβ,B′C′β,且AC∥A′C′,BC∥B′C′,∠BCA=120°,则∠B′C′A′=( )
A.0° B.60°
C.120° D.60°或120°
【解析】选C.结合图形,由AC∥A′C′,BC∥B′C′,根据定理,有
∠B′C′A′=∠BCA=120°.
6.(2014·济源高一检测)四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选C.取SB的中点G,则GE=GF=,在△SFC中,EF=a,所以GE2+GF2=EF2,所以∠EFG=45°.故选C.
【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法
(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).
(2)当异面直线依附于某几何,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点.
(3)当两条异面直线互相垂直时,欲求它们所成的角,实际上是要通过证明来计算.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.如果两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥所在的12条直线中,异面直线共有________对.
【解析】六条侧棱不是异面直线,一条侧棱与底面六边形的两边相交,与另四条边异面,这样异面直线一共有4×6=24(对).
答案:24
8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,则异面直线B1C1与AC所成的角为________.
【解析】如图,因为BC∥B1C1,
所以∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).
因为∠ABC=90°,AB=BC=1,
所以∠ACB=45°,
所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.
答案:45°
【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,AA1=2,则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为________.
【解析】如图,连结B1D1,AD1.
因为BD∥B1D1,
所以∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).
在△AB1D1中AB1=AD1=,
B1D1=,
所以cos∠AB1D1==.
答案:
9.四面体P-ABC中,PA⊥BC,E,F分别为PC,AB上任一点,若EF与PA,BC所成的角分别为α,β,则α+β=________.
【解析】本题可利用特例法.如图,若E,F为中点时,取AC的中点M,连接EM,FM,所以EM∥PA,FM∥BC,所以∠FEM=α,∠EFM=β,因为PA⊥BC
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