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2014-2015学年高中数学16余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4
余弦函数的图像与性质
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·陕西高考)函数f(x)=cos的最小正周期是 ( )
A. B.π C.2π D.4π
【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式T=,求出它的最小正周期即可.
【解析】选B.由T===π,故B正确.
2.(2014·济南高一检测)函数y=sin是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选B.因为y=sin
=sin=sin
=-sin=-cosx,
所以函数是偶函数.
3.(2014·天津高一检测)y=cosx,x∈的值域为 ( )
A.[0,1] B.[-1,1]
C. D.
【解析】选A.由图像可知,当x=0时,y=cosx取最大值1,当x=-时,y=cosx取最小值0.
【变式训练】函数y=2cosx+1取最小值时,自变量x的取值集合是 .
【解析】当cosx=-1时,2cosx+1取最小值-1,此时自变量x的取值集合为{x|x=2kπ+π,k∈Z}.
答案:{x|x=2kπ+π,k∈Z}
4.(2014·包头高一检测)函数y=sin的 ( )
A.最小正周期是2π B.图像关于y轴对称
C.图像关于原点对称 D.图像关于x轴对称
【解析】选B.因为y=sin=sin=cos2x,所以函数是偶函数,图像关于y轴对称.
5.(2014·银川高一检测)sinxcosx在区间[0,2π]上x的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解题指南】在同一坐标系中画出正、余弦函数的图像,再求解.
【解析】选D.在同一坐标系中作出y=sinx与y=cosx的图像如图所示.由图知满足条件的区间为.
6.(2014·西安高一检测)函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
【解析】选D.如图:
由余弦函数的对称性可得,y=2cosx的图像在[0,2π]上与直线y=2围成封闭图形的面积和直线x=2π,y=2,x轴、y轴围成的矩形的面积相等,为S=4π,故选D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·深圳高一检测)设函数f(x)=cosωx(ω0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 .
【解析】由题意可知,nT=(n∈N*),
所以n·=(n∈N*),
所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.
答案:6
8.(2014·威海高一检测)函数y=lg(-2cosx)的定义域为 .
【解析】由-2cosx0得cosx,由余弦函数的图像可知,+2kπx+2kπ,k∈Z.
答案:
9.(2013·南昌高一检测)已知0≤θ≤,且cosθ=a+1,则a的取值范围为 .
【解题指南】先求出cosθ的范围,进而求a的范围.
【解析】0≤θ≤,所以cosθ∈.
所以a+1∈,所以a∈.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.画出函数y=-3cosx+2的简图,根据图像讨论函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性.
【解析】按五个关键点列表、描点,画出图像如下
x 0 π 2π y=cosx 1 0 -1 0 1 y=-3cosx+2 -1 2 5 2 -1
函数y=-3cosx+2的性质见下表
函数
性质 y=-3cosx+2 定义域 R 值域 [-1,5] 奇偶性 偶函数 周期性 周期函数,最小正周期为2π 单调性 在每一个区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是增加的;
在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是减少的 11.是否存在实数λ,使函数f(x)=2cos2x-4λcosx-1的最小值是-?若存在,求出所有的λ和对应的x值,若不存在,试说明理由.
【解析】假设存在λ满足题意,则f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,
因为0≤x≤,所以0≤cosx≤1,
由f(x)的最小值为-,知
(1)或(2)或
(3)
由(1)解得λ=,此时cosx=,x=.
(2)无解.(3)无解.
综上所述,存在实数λ,当λ=,x=时,f(x)的最小值是-.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2013·吉安高一检测)如果y=cosx是增加的且y=sinx是减少的,那么x的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.y=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的,在[2kπ+π,2kπ+
2π](k∈Z)上是增加的
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