20162017学年高中数学第三章导数及其应用34生活中的优化问题举例高效测评.doc

2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例高效测评 新人教A版选修1-1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．则所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为(　　) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析：　设剪去的小正方形边长为x cm， 则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2， V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)(－1)， 令V′(x)＝0可以得x＝8. 答案：　B 2．某商品在最近30天的价格f(t)与时间t(天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0t≤30，tN＋)，销售量g(t)与时间t(天)的函数关系是g(t)＝－t＋35(0t≤30，tN＋)，则这种商品的销售金额的最大值为(　　) A．406 B．506 C．200 D．500 解析：　令F(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)＝－t2＋25t＋350＝－2＋.∴t＝12或13时，F(t)max＝506. 答案：　B 3．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为(　　) A．10 B．15 C．25 D．50 解析：　如图所示，设NOB＝θ，则矩形的面积是S＝5sin θ·2·5cos θ＝25sin 2θ，故Smax＝25. 答案：　C 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　) A．100 B．200 C．250 D．300 解析：　总成本C＝20 000＋100x，则总利润为P＝R－C ＝ P′＝ 令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大． 答案：　D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为________时，正三棱柱的表面积最小． 解析：　设底面的边长为a，高为h， 则V0＝a2h，h＝， S＝a2×2＋3ah＝a2＋3a·＝， S′＝，由S′＝0得a＝，所以当底面的边长为a＝时，正三棱柱的表面积最小． 答案：　 6．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________． 解析：　由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000(0≤x≤390)．P′(x)＝－x2＋300， 令P′(x)＝0，得x＝300. 当0≤x300时，P′(x)0， 当300x≤390时，P′(x)0， 所以当x＝300时，P(x)最大． 答案：　300 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本) 解析：　每月生产x吨产品时的利润为 f(x)＝x－(50 000＋200x) ＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0) f′(x)＝－x2＋24 000，令f′(x)＝0解得：x＝200或x＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使得f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为： f(200)＝－×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 8．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成，如图，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解析：　设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3. 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0x24)． V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0x24)． 令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 当0x10时，V′(x)0，V(x)是增函数； 当10x24时，V′(x)0，V(x)是减函数． 因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20