循环群,子群资料.ppt

二、群中元素的阶 前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利用单位元e，引入另一个新概念。 1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而a?G. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。 （2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，?|[2]|=4,同理知|[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群Z5 ,+ = {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元， 例3 加法群Z,+ 中，0是单位元。?|0|=1，而其它元素a,|a|=+∞。 例4 乘法群 R* , ? 中，1是单位元，?|1|=1,|-1|=2，而其它元素的阶都是无限。 说明 加法群G,+ 中，元素的阶的定义自然需做相应的变化： 设a?G ，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为|a|。 例5 设G={?0, ?1, ?2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么 G , ○ 必为一个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里 证 事实上 （1） （2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）. （3）?0=1是G中的单位元. （4）?0的逆元是?0，?1与?2互为逆元. 所以 G , ○ 为一个乘法群。不仅如此，我们还知： 例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其余元素的阶均无限． 例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是2，i与-i的阶都是4． 2．群中元素的阶的性质 性质1 设G是群，那么?a?G，若存在m?Z+，使a m=e ? |a|? m（可知a的阶是有限的）。 证明 由于a m=e ，这本身说明|a|+∞，令|a|=k， 若k m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k ? m 。 性质2 设a?G, 且若存在m?Z+使a m=e ? |a|=n +∞, 且n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,?g,r?Z使m=ng+r, r=0或者0rn. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾（∵rn）； ? r=0?m=ng?n|m. 性质3 设a?G且|a|=n,那么n|m ? a m=e. 证明 “?”正是性质2. “?” 性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任意整数． 证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有 ,即 其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m). 说明 若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得|ck|=h，于是结论（3）又可以改为： 对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。 性质9 群的元素和它的逆元有相同的阶. 证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n， 由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而 an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。 性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且(m,n)=1时,|ab|=m。 证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e; 其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e, 但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶来作出判断。 第十一讲 循环群、子群 课时安排 约2课时 教学内容 1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果（i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元； 2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的子群的方法； 3．循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．两类循环群的本质区别及各自的同构象；