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2016高考数学专题复习导练测第九章第3讲直线与圆圆与圆的位置关系理新人教A版
第讲
一、选择题
1.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 法一 (直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d==<1=r,所以直线与圆相交,故选C.
法二 (数形结合法)画图可得,故选C.
答案 C
2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( ).
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3][1,+∞)
解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为,
≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
答案 C
.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b满足的关系是( )
A.a2+2a+2b-3=0
B.a2+b2+2a+2b+5=0
C.a2+2a+2b+5=0
D.a2-2a-2b+5=0
解析 即两圆的公共弦必过(x+1)2+(y+1)2=4的圆心,两圆相减得相交弦的方程为-2(a+1)x-2(b+1)y+a2+1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得a2+2a+2b+5=0.
答案 C
4.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)恰有三条切线,则a+b的最大值为( ).
A.-3 B.-3 C.3 D.3
解析 易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;
圆C2的圆心为C2(0,b),半径为r2=1.
两圆恰有三条切线,两圆外切,
|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.2≤,
a+b≤3(当且仅当a=b=时取“=”),
a+b的最大值为3.
答案 D.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( ).
A. B.∪
C. D.∪
解析 C1:(x-1)2+y2=1,C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).
当m=0时,C2:y=0,此时C1与C2显然只有两个交点;
当m≠0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=±,即直线处于两切线之间时满足题意,
则-m0或0m.
综上知-m0或0m.
答案 B
.如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( ).
解析 如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0,在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记AOM=θ,则OM1O1=M1OO1=θ,故M1O1A=M1OO1+OM1O1=2θ.大圆圆弧的长为l1=θ×2=2θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×1=2θ,则l1=l2,即小圆的两段圆弧与的长相等,故点M1与点M′重合.即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.点A在其他象限类似可得,故M,N的轨迹为相互垂直的线段.观察各选项知,只有选项A符合.故选A.
答案 A二、填空题
.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________.
解析 由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.
设截得的弦长为l,则由2+()2=22,得l=2.
答案 2
.设集合A=(x,y)(x-2)2+y2≤m2,x,yR,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,yR},若A∩B=,则实数m的取值范围是________.
解析 A∩B≠?,A≠?,
m2≥.∴m≥或m≤0.显然B≠.
要使A∩B≠,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,即≤|m|或≤|m|,≤m≤2+.
又m≥或m≤0,≤m≤2+.
当m=0时,(2,0)不在0≤x+y≤1内.
综上所述,满足条件的m的取值范围为.
答案 9.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________.
解析 (数形结合法)如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3.在RtOBC中可得:OCB=,ACB=,
所求劣弧长为2π.
答案 2 π.在平面直角坐
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