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2017版高考数学大一轮复习第七章数列推理与证明第41课数列的递推关系与通项文
第41课 数列的递推关系与通项
(本课时对应学生用书第 页自主学习 回归教材
必修习题改编已知等差数列的公差为,那么 【答案】必修公式推导过程改编在数列中,,,那么 【答案】
【解析】当时,,当时也成立,故必修习题改编若数列满足,,∈N*),则数列的通项公式为 【答案】【解析】由可变形为,∈N*),由此可写出以下各式:,,,,,将以上等式两边分别相加,得,所以必修复习题改编在等差数列中,,,,则 【答案】【解析】因为,,所以,,解得必修阅读改编在斐波那契数列,,,,,,,中,,,的关系是 【答案】递推数列
概念:数列的连续若干项满足的等量关系,,,称为数列的递推关系由递推关系及个初始值确定的数列叫递推数列求递推数列通项公式的常用方法:迭代法、构造法、累加乘法、归纳猜想法数列递推关系的几种常见类型
形如∈N*且方法:累加法,即当∈N*,时,形如∈N*且方法:累乘法,即当∈N*,时,注意:不一定满足上述形式,所以需检验形如∈N*且方法:化为的形式令,即得,为等比数列,从而求得数列的通项公式形如∈N*且方法:两边同除,得,令,得,转化为利用叠加法求(若为常数,则为等差数列),从而求得数列的通项公式
【要点导学】
要点导学 各个击破
利用累乘、累加法求通项
例 在数列中,已知,,求【思维引导】对递推关系的两边取倒数,可以得到之间的递推关系运用累加法,先求出数列的通项公式,再求出数列的通项公式,这体现了转化思想的运用【解答】原式可化为,
所以,
-=n-2,,-=1,
累加得,
所以,
所以【精要点评】求数列的通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除叠加、迭代、累乘外,还应注意配凑变形法变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列,然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题求得通项公式时,还可根据递推公式写出前几项,由此来猜测归纳出通项公式,然后再证明变式 江苏卷设数列满足,且∈N*), 则数列的前项和为 【答案】
【解析】因为,所以,
所以变式 已知在数列中,,,求其通项公式;
在数列中,已知,,求其通项公式【解答】由,得因为,
所以,
所以是首项为,公比为的等比数列,
所以,
所以 构造等差、等比数列求通项
例 已知数列的前项和为若数列是等比数列,满足,是,的等差中项,求数列的通项公式;
是否存在等差数列,使对任意∈N*都有若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由【解答】设等比数列的首项为,公比为,
依题意,有
即
由①得,解得或当时,不合题意,舍去;
当时,代入②,得,
所以假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为由,
得,
则解得或
此时或故存在等差数列,使对任意的∈N*都有,其中或变式 已知数列满足,,∈N*,求数列的通项公式【思维引导】对两边取对数得,就可以转化为,形成一个等比数列由,得到通项【解答】因为,,
所以,且两边取对数,得,
化为,
因为,
所以数列是以为首项、为公比的等比数列,所以,
所以【精要点评】此题通过两边同时取对数,将一个复杂的数列转化为等比数列通常来说,我们可以将数列取对数后转化成等差数列将等差数列放到指数函数中转化为等比数列 由与的递推关系求通项
例 南京调研记数列的前项和为若,,∈N*),求【思维引导】由,∈N*)递推得:当时,有,两式作差得从而得到数列是从第二项起以为首项,为公比的等比数列【解答】方法一:当时,,
从而得当时,
有所以即又所以数列是从第二项起以为首项、为公比的等比数列所以当时又所以方法二:当时,,从而当时,,所以,
即,所以又因为,,所以,
所以数列是以为首项、为公比的等比数列,从而,所以【精要点评】方法一的思考方法是先求出数列的通项公式,再求它的前项和,所以将转化为,通过研究来求和;方法二的思考方法是直接研究,所以将转化为后再求它的通项这是研究与的关系问题的常用的两种解法,解题时要合理选择变式 苏州期中设数列的前项和为,满足,且,,成等差数列求,的值;
求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式【解答】由题意,得 ①,
②又因为,,成等差数列,
所以 ③,
联立①②③,解得,由题意知,当∈N*时,
,
即,由知所以所以又,所以,
所以,
所以数列是等比数列,且公比为,
所以,已知数列中的,且,,,,那么 【答案】
【解析】对取倒数,得,
即,由此可知数列是以为首项、为公差的等差数列,从而,因此在数列中,若,,则 【答案】【解析】由题意得,在数列中,若,,则数列的通项公式 【答案】【解析】同除以,得,即,
所以数列是以为首项、为公差的等差数列,
所以,所以在各项均不为零的等差数列中,若,∈N*),则 【答案】【解析】设等差数列的公差为,则,由,可得,解得或舍去,故已知数列的各项均为正整
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