2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数124复数文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.4 复数 文 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位) (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数b＝0 a＋bi为虚数b≠0 a＋bi为纯虚数a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应法则． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　) (4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　) 1．(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________. 答案　3＋i 解析　(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i. 2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝__________. 答案　2－i 解析　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i. 3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________________________． 答案　2＋4i 解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i. 4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝__________. 答案　3－4i 解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i. 5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________. 答案　2＋i 解析　∵＝＝＝＝2－i， ∴z＝2＋i. 题型一　复数的概念 例1　(1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________． (2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________． (3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的____________条件． 答案　(1)3　(2)1　(3)充分不必要 解析　(1)z＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R， 且z＝a－为纯虚数知a＝3. (2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1. (3)由解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 引申探究 1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值． 解　若|z|＝，则(a－3)2＋1＝10， ∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6. 2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________. 答案　－4 解析　若为实数，则＝0.∴a＝－4. 思维升华　解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 　(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________． (2)(2014·浙江改编)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的________________条件． 答案　(1)－1　(2)充分不必要 解析　(1)由复数z为纯虚数，得 解得x＝－1. (2)当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i； 当(a＋bi)2＝2i时，得 解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”