2011届高三数学一轮复习教案:第五章第4课 数列应用.doc

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2011届高三数学一轮复习教案:第五章第4课 数列应用

第4课 数列的应用 【考点导读】 1.能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。 2.注意基本数学思想方法的运用,构造思想:已知数列构造新数列,转化思想:将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1.将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 251 行 ,第 5 列。 2.图1,2,3,4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第个图包含 个互不重叠的单位正方形. 3.若数列中,,且对任意的正整数、都有,则 . 4.设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则的值为 。 5.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则 。 【范例导析】 例1.一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍。 (1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?并求的表达式; (2)记为数列的前项的和。当从B口得倒数时,求此时对应的的值. 分析:根据题意可以知道,所以可以采用迭乘法求出的表达式, 这样就可以解决题目中的问题。 解:(1)由题意可知: ∵ ∴ ∴ ∴ (2) ∴ 由得: ∴ 点评:本题考查了迭乘法求数列的通项,裂项法求数列的前项和,更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来,也就是理解题目的含义。 例2.已知正数组成的两个数列,若是关于的方程的两根 (1)求证:为等差数列; (2)已知分别求数列的通项公式; (3)求数。 (1)证明:由的两根得: 是等差数列 (2)由(1)知 ∴   又也符合该式, (3) ① ② ①—②得 . 点评:本题考查了等差、等比数列的性质,数列的构造,数列的转化思想,乘公比错项相减法求和等。 例3.设数列满足 ,且数列是等差数列,数列是等比数列。 (I)求数列和的通项公式; (II)是否存在,使,若存在,求出,若不存在,说明理由。 解:由题意得: = ; 由已知得公比 (2) ,所以当时,是增函数。 又, 所以当时, 又, 所以不存在,使。 备用题.已知点和互不相同的点,,,…,,…,满足,其中分别为等差数列和等比数列,为坐标原点,若是线段的中点. (1)求的值; (2)点,,,…,,…能否共线?证明你的结论; (3)证明:对于给定的公差不零的,都能找到唯一的一个,使得,,,…,,…,都在一个指数函数的图象上. 解:(1)是线段的中点 又, 且不共线, 由平面向量基本定理,知: (2) 由 设的公差为,的公比为,则由于,,,…,,…互不相同, 所以,不会同时成立; 若,则, ,,,…,,…都在直线上; 若,则为常数列, ,,,…,,…都在直线上; 若且,,,,…,,…共线 与共线() 与矛盾, ∴当且时,,,,…,,…不共线. (3)设都在指数函数的图像上,则 令,则, 于是,有唯一解, 由于,,从而满足条件“,,,…,,…互不相同”。 ∴当对于给定的,都能找到唯一的一个, 使得,,,…,,…,都在指数函数的图象上。 【反馈演练】 1.制造某种产品,计划经过两年要使成本降低,则平均每年应降低成本 。 2.在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 锐角三角形 。 3.等比数列的前项和为,,则 54 。 4.数列是公差不为零的等差数列,且是一等比数列的连续三项,若该等比数列的首项为3,则 。 5.设为等差数列,为

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