2011届高三数学一轮复习教案：第五章第4课 数列应用.doc

第4课　数列的应用 【考点导读】 1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1．将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 251 行 ，第 5 列。 2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含 个互不重叠的单位正方形. 3．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 . 4．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 。 5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。 【范例导析】 例1．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍。 （1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？并求的表达式； （2）记为数列的前项的和。当从B口得倒数时，求此时对应的的值. 分析：根据题意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表达式， 这样就可以解决题目中的问题。 解：（1）由题意可知： ∵ ∴ ∴ ∴ （2） ∴ 由得： ∴ 点评：本题考查了迭乘法求数列的通项，裂项法求数列的前项和，更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来，也就是理解题目的含义。 例2．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根 （1）求证：为等差数列； （2）已知分别求数列的通项公式； （3）求数。 （1）证明：由的两根得： 是等差数列 （2）由（1）知 ∴　　　又也符合该式， （3） ① ② ①—②得 . 点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。 例3．设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。 （I）求数列和的通项公式； （II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。 解：由题意得： ＝ ； 由已知得公比 （2） ，所以当时，是增函数。 又， 所以当时， 又， 所以不存在，使。 备用题．已知点和互不相同的点，，，…，，…，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点. （1）求的值； （2）点，，，…，，…能否共线？证明你的结论； （3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在一个指数函数的图象上. 解：（1）是线段的中点 又， 且不共线， 由平面向量基本定理，知： (2) 由 设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同， 所以，不会同时成立； 若，则， ，，，…，，…都在直线上； 若，则为常数列， ，，，…，，…都在直线上； 若且，，，，…，，…共线 与共线（） 与矛盾， ∴当且时，，，，…，，…不共线. （3）设都在指数函数的图像上，则 令，则， 于是，有唯一解， 由于，，从而满足条件“，，，…，，…互不相同”。 ∴当对于给定的，都能找到唯一的一个， 使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上。 【反馈演练】 1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。 2．在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 。 3．等比数列的前项和为，，则 54 。 4．数列是公差不为零的等差数列，且是一等比数列的连续三项，若该等比数列的首项为3，则 。 5．设为等差数列，为