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如何判断一个数是不是完全平方数 下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之， 如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明 已知=10k+6 ，证明k 为奇数。因为的个位数为6，所以m 的个位数为4 或 6，于是可设m=10n+4 或10n+6。则 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴k 为奇数。 推论 1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不 是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：偶数的平方是4 的倍数；奇数的平方是4 的倍数加1。 证明 这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1 型；偶数的平方为8n 或8n+4 型。 证明 在性质4 的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1 型的数；由 为奇数或偶数可得(2k)为8n 型或8n+4 型的数。 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 证明 因为自然数被3 除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2 。平方后， 分别得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性质7：不能被5 整除的数的平方为5k ±1 型，能被5 整除的数的平方为5k 型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 拓展 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各 位数字之和。例如，256 它的各位数字相加为2+5+6=13，13 叫做256 的各位 数 字和。如果再把13 的各位数字相加：1+3=4，4 也可以叫做256 的各位数字的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果 得到的 数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以 得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9 除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为abcd，则 abcd= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 显然，a+b+c+d 是四位数被9 除的余数。 对于n 位数，也可以仿此法予以证明。 关于完全平方数的数字和有下面的性质： 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 证明 因为一个整数被9 除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4 这几种形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上几条性质以外，还有下列重要性质： 性质10：为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数。 性质11：如果质数p 能整除a，但p 的平方不能整除a，则a 不是完全平方数。 证明 由题设可知，a 有质因数p ，但无因数，可知a 分解成标准式时，p 的次方 为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a 不是完 全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即 若n^2 k^2 (n+1)^2 则k 一定不是完全平方数。 性质13：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个