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2006年上海市高中数学竞赛

32 中 等 数 学 竞赛之窗 2006 年上海市高中数学竞赛   说明 :解答本试卷不得使用计算器. 则所有满足条件的函数f 为 . ( ( ) 一 、填空题 第 1 —4 小题 ,每小题 7 分 , 二 、解答题 共 60 分 ) ( ) 第 5 —8 小题 ,每小题 8 分 ,共 60 分 9. 14 分 如图 1. 设 x 、y 、z 是正实数 ,满足 1 , 已知抛物线 y 2 = xy + z = ( x + z ) ( y + z ) . 2px ( p 0) ,其焦点 则 xyz 的最大值是 . 为 F , 一条过焦点 2. 设从正整数 k 开始的 201 个连续正整 F 且倾斜角为 θ ( θ π) 数中 , 前 101 个正整数的平方和等于后 100 0 的直线 个正整数的平方和. 则 k 的值为 . 交抛物线于点 A 、 图 1 ( ≥) B , 联结 AO ( O 为 3 . 设 n n 2 是给定的整数 , x 1 , x2 , …, ) x n 是实数. 则 sin x 1 ·cos x2 + sin x2 ·cos x3 + 坐标原点 ,交准线于点 B ′,联结 BO ,交准线 …+ sin x n ·cos x 1 的最大值是 . 于点 A ′. 求四边形 ABB ′A ′的面积. ( ) 10. 14 分 数列 { an } 定义如下 : a1 = 1 , 4. 在 △ABC 中 , ∠A = 30°, ∠B = 105°,过 ≥ 边 AC 上一点D 作直线DE ,与边 AB 或边BC 且当 n 2 时 , 相交于点 E , 使得 ∠CDE = 60°, 且 DE 将 a n + 1 , 当 n 为偶数时 ; 2 2 △ABC 的面积二等分. 则 CD = . an = 1 , 当 n 为奇数时.

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