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r-预不变凸函数的一个等价条件

2009年 1月 重庆师范大学学报 (自然科学版) Jan.2009 第26卷 第 1期 JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScience) V01.26 No.1 r一预不变凸函数的一个等价条件 陈 乔 ,罗 杰 (重庆师范大学 数学与计算机科学学院,重庆400047) 摘要:在上半连续条件给出了r一预不变凸函数一个等价条件。本文利用上半连续函数在紧集上必有最大值,设K是 关于r/的开不变凸集,田满足条件C,f上半连续且满足 Y+r/(x,Y)) ),V ,y∈K,得到厂关于r/为r一预不变凸 函数当且 t. ; ,erry(),。。 是 开集这一条件,并且没用A在 [0,1]上的稠密性。 关键词 :不变凸集 ;预不变凸函数 ;r·预不变 凸函数;紧集 中图分类号:0221.1 文献标识码:A 文章编号:1672—6693(2009)01—0011—02 凸性及广义凸性在数学规划及最优化等领域 中具有十分重要的作用 ¨。 。Weir等人在文献[2-3]中引 入了预不变凸函数的定义,建立了非线性规划的最优性条件。文献[4]中,杨等人利用半连续性和稠密性研 究了预不变凸函数的一些性质。作为凸性另一方面的重要推广,文献 [6]中,Avriel提出了r一凸函数,获得了 一 些重要的性质。2005年,文献 [7]中,作为对预不变凸性和r-凸性概念的进一步推广,Antczak介绍了r-预 不变凸函数的定义,并讨论了其在数学规划中的应用,包括最优性条件及对偶问题。 本文受文献[4]中研究工作的启发,利用上半连续函数在紧集上可取得最大值,获得了有关r一预不变凸 函数等价性的证明方法。 1预备知识 . 本文均假定KCR ,叼:R XR一 ,厂: R,下面给出本文所需要的一些基本概念及相关性质。 定义1[2。 称 KC_R 是关于 的不变凸集。若 叼:R ×R一R ,对 V ,Y∈K,VA∈[0,1],Y+A叼(,Y)∈K 定义2[。 K关于 为不变凸集,称厂:K—R是关于 叼的预不变凸函数。若对V ,Y∈K,VA∈[0,1], 有 Y+A卵(,Y))≤A厂()+(1一A) Y)。 定义3[ K关于77为不变凸集,称厂关于叩为 ,.预不变凸函数。若V ,∈K,V ∈[0,1]有 Y+A叼(,Y))~log{Ae +(1一A)e ‘}了,r#0 Y+A叼(,Y))≤A厂()+(1一A) y),r=0 显然r=0时,卜预不变凸函数退化为预不变凸函数,因此本文讨论当r#0时的情形。 引理 1 设K是紧集,.厂是上半连续函数,则f在K上取得最大值。 引理2[ . 厂()是关于叩的r预不变凸(凹)函数当且仅当e 是关于相同叩的预不变凸函数r0(预 不变凹函数 r0)。 条件C[5 称 卵满足条件C,若对V ,Y∈K,VA∈[0,1],有 } 收稿 日期:2008.09.02 修 回日期:2008-12—15 资助项目:国家 自然科学基金(No.10171l18) 作者简介:陈乔,女,硕士研究生,研究方向为最优化理论与算法。 2 l2 重庆师范大学学报(自然科学版) http://www.cqnuj.en 第26卷 主 要 结 论 定理 1 设K是关于 的不变凸集,77满足条件 C,上半连续且满足_厂(Y+77(,Y)) ),V ,Y∈K, 则-厂关于7为 卜预不变凸函数当且仅当j ∈(0,1),对

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