关于B-预不变凸函数的一个等价条件.pdf

第26卷第6期 重庆工商大学学报(自然科学版) 2009年 12月 Vol_26 N0．6 JChongqingTeehnolBusinessUniv．(NatSeiEd) Dee．2009 文章编号：1672—058X(2009)06—0526—03 关于B一预不变凸函数的一个等价条件 黄 应 全 (重庆工商大学 数学与统计学院，重庆400067) 摘 要：在 叼(，Y)满足条件 c，I厂()满足条件D的情况下，给出了B一预不变凸函数的一个等价条件， 通过上述等价条件将 R 上的实值函数转化为[0，1]上的实值函数，简化 了问题． 关键词：不变凸集；B一预不变凸函数；等价条件 中图分类号：0221．2 文献标志码 ：A 广义凸性函数在数学规划、最优化及最优控制等领域中具有十分重要的作用．因此，近年来对各种广义 凸性的研究非常活跃．1991年，Beetor和 Singh在文献 [1]中引入 了 B一凸函数；1993年，Bector，Sin曲和 Suneja在文献[2]中引入了B一预不变凸函数．此处在他们研究的基础上给出了B一预不变凸函数的一个等 价条件，将R 上的实值函数转化为Eo，1]上的实值函数． 1 基本概念 定义 1 称集合X_CR 是不变凸集，若 向量值函数 ：R ×R R 使得V ，)，∈X，A∈[0，1]，)，+A叼 (，Y)∈ ． 定义 2 X_CR 是凸集，称l厂()：一尺关于b，b：是B一凸函数，若V ，)，∈X，A∈[0，1]，有 Y+A (—Y))≤61(，y，A)_厂(Y)+62(，，A) )，其中b1(，y，A)10，b2(，y，A)10，61(，y，A)+62(，Y，A)= 1，6(，Y，0)=1=62(，Y，1)． 定义3[21X_CR 是不变凸集，称I厂()： 关于卵，b。，b2是B一预不变凸函数，若 j．b：X X[0，1] — R ，卵：R XR一 ，使得V ，Y∈ ，A∈[0，1]有厂(Y+A叼(，Y))≤b1(，Y，A)f(Y)+b2(，y，A)f()．其 中，b1(，Y，A)10，62(，y，A)10，b1(，Y，A)+62(，)，，A)=1，61(，Y，0)=1=b2(，y，1)． 条件 C[ 叼：R ×R一 ，叼(，Y)满足条件 c是指V ，Y∈R ，A∈[0，1]．C1：rl(，Y+A叼(，Y))= 一 ~rl(x，Y)；c2：叼(，Y+arl(x，Y))=(1一A)叼(，Y)．显然由条件 C可知：V ，Y∈R ，VA∈[0，1]， rl(Y+~r／(x，Y)，Y)=叼(+A77(，Y)，Y+~rl(x，Y)+77(y，Y+~rl(x，Y)))= 一 77(y，Y+A叼(，y))=A77(，Y) (1) 条件 D X_CR 关于71(，Y)为不变凸集，称厂()：— 满足条件D是指V ，y∈X Y+rl(，y))≤ )． 2 结论及其证明 定理 1 X_CR 关于 卵(，Y)为不变凸集 )：一尺满足条件 D，叼(，y)满足条件 c，则 )关于 77， 收稿 日期 ：2009—10—13；修回日期：2009—10—20． 作者简介 ：黄应全 (1975一)，男，四川德阳人，讲师，从事最优化理论与应用研究 第6期 黄应全：关于B一预不变凸函数的一个等价条件 527 6，b：是 B一预不变凸函数当且仅当V ，Y∈X，(OL)： y+otr／(，Y))在[0，1]上关于b，b是B一凸函数． 证明 必要性 ： 因为 )在 上关于b。(，，)，b：(，，)，叩(，Y)为B～预不变凸函数，由定义Vx，Y∈ ， ∈[0，1] s．t．Y+ 叼(，Y))≤b1(，y，)／．(Y)+62(，Y，O1))f()．其中b1(，Y，)I0，b2(，Y，O／)I0，61(，Y，) +62(，y，O／)=1，61(，y，0)=1=b