函数项级数一致收敛充要条件的一个注记.pdf

　2006 年 6 月 重庆文理学院学报 ( 自然科学版) Jun , 2006 　 第 5 卷 　第 2 期 Journal of Chongqing University of Arts and Sciences (Nature Sciences Edition) Vol5 　No2 函数项级数一致收敛充要条件的一个注记 李 　勇 (重庆文理学院　数学与计算机科学系 , 重庆 　永川 　402160) [摘 　要]论述了函数序列和函数项级数一致收敛的概念和相关定理 ,并进一步给出了以往教 材中没有提到的关于判别函数项级数一致收敛的一个有效充要判别法. [ 关键词] 函数项级数 ;确界 ;一致收敛 ( ) [ 中图分类号]O173 . 1 　[ 文献标识码]A 　[ 文章编号] 1671 - 7538 2006 02 - 0043 - 03 在一般数学分析文献中 ,有不少都描述了函数序列和函数项级数一致收敛的概念及其等价关系 , 并给出了相应的判别方法 ,但有些只是充分而非必要的条件或者条件过强. 本文在此基础上利用确界 条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 ,从而给出了判别函数项级数一致收敛与不一致 收敛的较为有效的充要判别法. 1 　函数项级数一致收敛的概念及其柯西收敛原理 在数学分析教材中都明确给出了函数序列和函数项级数一致收敛的定义 ,但在具体进行一致收 敛的判别时用定义法却有相当的难度 ,或者有些根本就无法用定义法判别. 从给出的定义中可知 ,不 ε 管是对函数序列还是对函数项级数进行一致收敛判别 ,都必须找到仅与 有关的N ,而在一般情况下 N 的存在性是难以解决的. n ∞ ∞ 若记 S n ( x ) = uk ( x ) , uk ( x ) = S ( x ) ,则从一般性的定义中可知函数项级数 uk ( x ) 在数 ∑ ∑ ∑ k = 1 k = 1 k = 1 集 D 上的一致收敛性与函数序列{S n ( x ) } 在数集 D 上一致收敛于S ( x ) 是等价的. 下面可从参考教材 中给出函数序列和函数项级数一致收敛柯西收敛原理的比较. 定理 1 　函数序列{φ( x ) } 在数集 D 上一致收敛于φ( x ) 对任意给定的 ε 0 , N ∈Z + ,使 n + φ ( ) φ( ) ε 当 n N 时 ,对一切 x ∈D 和任意的p ∈Z ,都有 | n + p x - n x | ∞ ( ) ε + 定理 2 　函数项级数