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l8 中 等 数 学 第 52届 IMO预选题 (四) 中圈分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2012)一0018—05 若整数m、n满足 数 论 部 分 S3+S4—3S m n ， 1．对于任意正整数d，f(d)是满足恰有 d个正因数的最小的正整数 (如 (1)=1， 证明：PIm． 5)=16， 6)=12)．证明：对于每个非负 8．设n=2 +1(kEN+)．证明：凡是一 整数k，均有 个质数当且仅当下述结论成立：存在 1，2， … n一1的一个排列al，a2，…，a一l和一个整 ，(2) 2¨)． ， 数数列 g，g：，…，g ，使得对于每个 iE 2．考虑多项式 {1，2，…，n一1}，均有 P()=(戈+d1)(+d2)…(+d9)， nI(g 一‘口+1)， 其中，d。，d2，…，也是9个不同的整数．证明： 其中，a=a1． 存在整数 Ⅳ，使得对于所有的整数 ≥N，均 有P()能被一个大于2O的质数整除． 参 考 答 案 3．设n是正奇数．求所有函数 Z—z， 1．对于任意正整数n，记 d(n)为 n的正 使得对所有整数 、Y均有 ( )一厂(y))l( 一Y)． 因数的个数．设n=Ⅱpa(p)是乃的质因数分 4．对于每个正整数 k，设 t(k)是 k的最 解式，其中，质数P取遍所有质数，a(p)是非 大的奇因数．求所有的正整数a，使得存在正 负整数，且除了有限个外都是0．于是， 整数n满足所有的差 d(n)=1-[(口(p+1)． ￡(n+a)一￡(，1)，￡(n+a+1)一f(n+1)， 因此，d(n)是2的整数次幂当且仅当对 … ， f(n+2a一1)一￡(n+a一1) 于每个质数P，都存在非负整数b(p)，满足 均能被4整除 a(p、=2 ‘一1 5．本届 lMO第 5题． =1+2+2 +… +2 (P)一 ． 6．设P()、Q()是两个整系数多项式， ^fn、一 1 且满足不存在非常值有理系数多项式整除 故n：ⅡⅡp，