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复数概念与运算
复数、算法初步;知识体系;考纲解读;;1.理解复数的有关概念,以及复数相等的充要条件.
2.会进行复数的代数形式的四则运算.
3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义.;1.复数的代数形式:z=a+bi(a,b∈R),其中i2=-1,a为实部,b为虚部.
2.复数的分类:
实数 (b=0)
虚数 (b≠0);
纯虚数 (a=0)
非纯虚数(a≠0).;3.复数相等的充要条件:
a+bi=c+di ① .
4.复数的模:
|a+bi|=② =③ .
5.共轭复数:a+bi与a-bi互为④ .
显然,任一实数的共轭复数是它自己.;6.复数的代数形式的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)以及⑤ 表示,且三者之间为一一对应关系.
规定:相等的向量表示同一个复数.
7.复数的代数形式的四则运算:
若a、b、c、d∈R,则:
(a+bi)±(c+di)=⑥ ;
(a+bi)(c+di)=⑦ ;
= =⑧ ;
其中c、d不同时为0.;8.复平面内两点间的距离:复平面内两点Z1、Z2对应的复数分别为z1、z2,则| |= = ,其中O为原点.
9.复数的加、减法的几何意义:复数的加、减运算满足向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).;题型一 复数的概念及几何意义; 依据复数分类的条件和代数形式的几何意义求解.;(2)当m=-2或m=-1时,为实数.
m2+3m+2=0 m=-2或m=-1
m2-2m-20 m1-3或m1+3
m=-2或m=-1.
(3)当m∈(-1,3)时,z对应的点在复平面的第二象限.
lg(m2-2m-2)0 m2-2m-30
m2+3m+20 m2+3m+20,
-1m3
m-2或m-1; 复数为何属性的数的问题通常可转化为其实数、虚部应满足的条件,复数对应的点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部的取值.;题型二 复数的运算;题型三 复数的相等的充要条件及应用; 设原方程的实根为x0,
则x02-(tanθ+i)x0-(2+i)=0,
即(x02-tanθx0-2)-(x0+1)i=0,
x02-tanθx0-2=0
x0+1=0,
求得x0=-1,tanθ=1,又θ∈(0, ),
所以θ= .
故θ= ,实根为-1.; 设z的共轭复数为 ,若z+ =4,z· =8,求 的值.;题型四 复数加法运算的几何意义及应用;|z+2|表示椭圆上的点到焦点(-2,0)的距离.
椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值.
因此,当z=4时,|z+2|有最大值6;
当z=-4时 ,|z+2|有最小值2.; 若复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.;(方法二)因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4|
≥||z+2-2i|-4|=3,
故|z-2-2i|min=3.
(方法三)设z=x+yi(x,y∈R),
因此有|x+2+(i-2)i|=1,即(x+2)2+(y-2)2=1.
又|z-2-2i|=
=
= ,
而|x+2|=
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