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奥数神奇数字
第十七讲 神奇的数字
我们首先来玩一个数字“读心术”的小游戏:
我会在纸上写上数字XX,然后把纸扣在桌上。同学们做以下几步:
在计算器上按同一个数字3次,如555(除0外)
算出三位数的和(如5+5+5=15)
用这个数除以它各位数上的和(555/15)
每位同学记住自己的答案,然后可以看老师游戏前写的数字. 37
大家谈谈发现了什么?
下面一起来训练我们的大脑肌群,……解答以下谜题
慢慢的大家会发现数字的力量、美妙和振奋人心的一面。
把所有美国人的头发根数全部加起来,记着A;把所有中国人的头发根数全部乘起来,记着B。A和B哪个大。
试求数列1,4,7,10,13,……的第100项.
等差数列3,7,11,15,……的第99项是多少?
(这道题我们第7讲时讲过公式,同学们还记得吗,现在尽量不用已学公式,自己来找出更简单的解题规律)
公式:末项=首项+公差×(项数-1)
规律:观察各项数字(298)
各项序列: 1 2 3 4 5 N
3的倍数 3 6 9 12 3N
数列 1 4 7 10 13 3N+1
第一项不在3的倍数之中,所以我们把这组数字看成是99项,用3N+1就可以算出答案。
第二组数据规律明显是4N-1,那么第99项就是4X99-1=395
年终总结大会上,领导A发言说:“本年度公司的销售业绩取得了可喜的成绩。我做了一些简单的计算,从第二季度开始,每个季度的销售总和都高于上一个季度。”领导B发言确说:“今年公司的销售业绩不容乐观。我把每四个月作为一个阶段,将全年划分为了三个阶段。结果发现从第二阶段开始,每个阶段的销售总和都低于上一阶段。”他们所说的话有可能同时成立吗?
可能:假如12个月的销量如下:3,3,3,6,2,2,9,1,1,12,0,0,每季度的销量和分别是9,10,11,12,那么每四个月的销量总各则是15,14,13
这种例子很容易出来, 先找出四个递增的数的以及3个递减的数,使得这两组数的总和相同。
用方程组解也可:
A1+a2+a3=9 ……
数字序列3,2,1,1,0,0,0非常有意思:整个序列里面正好有3个0、2个1、1个2、1个3、0个4、0个5、0个6.类似的例子还有吗?让我们来探究一下。
(1)试试写下遵循此规律的4个数
1,2,1,0
2,0,2,0
(2)试试写下遵循此规律的5个数,100个呢?
(这些数字相互关联,相互制约,如果N不算太大,通过简单的实验和分析即可得出结论,要解决N=100时的情况,不可盲目尝试,我们要找规律)
2,1,2,0,0
N=6无解
N=7 3,2,1,1,0,0,0,
N=8 4,2,1,0.1,0,0,0
N=9 5,2,1,0,0,1,0,0,0
N=1O 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0
N=100 96,2,1,0,0,0,0……0,1,0,0,0
还记得小时候有一道经典的奥数题,大概是让你把两个数字1,两个数字2,两个数字3排成一行,使得其中两个数字之间正好夹着1个数字,两个数字2之间夹着两个数字,两个数字3之间夹着3个数字。稍作尝试便可得出正确答案:2,3,1,2,1,3。如果把逆序后的数列视着本质相同的数列,那么上面这个答案是咱们唯一的。和刚才一样,请考虑下面几个问题:
是否能把1,1,2,2,3,3,4,4排成一排,使它们满足类似的要求。
4,1,3,1,2,4,3,2
是否能把1,1,2,2,3,3,4,4,5,5排成一排,使它们满足类似的要求。
不存在,我们需要将10个数字放入10个格子内,奇数要么都在奇数格子里,要么都在偶数格子里,而偶数都是一奇一偶格子,而此题我们有5个奇数5个偶数格子。无论如何我们也不能即无重复又无遗漏的填满。偶数都会听话的各占一格奇偶,重点就在奇数上,由于每对奇数只占其中一种格子,我们必须要有偶数对奇数。因此只有N=3,4,7,8,11,12……即形如4M或4m-1时,LANGFORD数据才成立
(这个问题是由C.Dudley Langford 在1958年提出的,因此我们把满足要求的数列叫做Langford数据。)
想一个九位数,它恰好由数字1到9组成,并且第一位能被1整除,前两位组成的两位数能被2整除,以此类推,一直到整个数能被整除。381654729(362880个组各中的唯一答案)
(例如,123456789就符合要求,虽然1能被1整除,12能被2整除,123能被3整除,1234就不能被4整除了,这个问题我们可以用数字迷一般的推理方法解决)
设这个数
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