第二章非线性方程(组)的迭代解法.ppt

第二章 非线性方程(组)求根方法 1、二分法 2、一般迭代法 3、简单迭代法加速 (二) steffensen加速算法 4、牛顿迭代算法 牛顿迭代法的几点说明 解非线性方程组的牛顿迭代法 Jacobi矩阵 注意事项： 为了解决上述问题，提出拟牛顿法。 Broyden秩1方法 综合上述，得到Broyden秩1方法： 返回主目录 1、数值分析. 颜庆津. 修订版. 北京航空航天大学出版社，2000 2、李庆扬. 非线性方程组的数值解法. 科学出版社, 1987 参考书目： 例2 返回 不满足局部收敛性定理! 故可能发散。 可以验证， 例2 返回 在[1,1.5]内是自映射，并且 满足大范围收敛定理！收敛。 可以验证， Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. Phys. North China Elec. P.U. 若 n=1, 称为非线性方程求根问题； n1，称为非线性方程组求解问题。 理论问题： （1）解的存在性。即有解还是无解，有多少解。 （2）解的性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。 关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。我们总认为： 我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解！ 通常求其精确解是困难的 ◆ 二分法 内容: ◆ 一般迭代法 ◆ 牛顿迭代法 ◆ 迭代法的加速 ◆ 非线性方程组的牛顿迭代法* 设 在区间 上连续且有 ，则 在区间 内有解，不妨设解唯一！ 算法构造原理: 有根区间 x1 a a b x2 b 什么时候停止？ 或 x* 算法停止的条件 x 综合上述，得到如下算法， (1) (2) (3) 否则 (4) 否则，转(2)； 例1 可得 共计算21次！ 注： 其中 为精度控制参数! 二分法只能求有根区间中的奇数重的实根; 关于二分法的讨论 (1) 二分法线性收敛; (2) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! (3) 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值! 返回主目录 (1) (2) (3) (一) 构造方法 (1) 例2 1.5000 -0.8750 6.7324 -69.7200 1.0275e+8 不收敛 1.5000 1.2870 1.4025 1.3455 1.3752 1.3601 1.3678 1.3639 1.3659 1.3649 1.3654 1.3651 1.3653 1.3652 1.3652 1.5000 0.8165 2.9969 0-2.9412i 不收敛 1.5000 1.3484 1.3674 1.3650 1.3653 1.3652 1.3652 方法1 方法2 方法3 方法4 *收敛与否，以及收敛快慢，取决于迭代函数 15次 6次 *精度控制的表达式？？ (二) 大范围收敛定理 (1) (2) 则 (1) (2) (3) ① ② 下面看证明过程， 即 是自映射； (1) 由条件(1)可得解的存在性； 由条件(2)可证解的唯一性！ (2) 由条件(1)可知 (3) ①得证； 进而可证②! (三) 局部收敛定理 设 在包含x*某个开区间内连续， 若 由迭代(1)产生的序列 , 使得 则 证明:略! 注： 当定理条件成立时， 只要x0充分接近x*，就能保证迭代序列{xn}收敛于x*！ 且有与前一定理完全相同的不等式成立！ 分析例2四种迭代格式的收敛性， 一般迭代法只有理论上的意义，因为构造保证收敛的迭代函数比较困难。 注: 方法1的收敛性分析 方法2的收敛性分析 方法3的收敛性分析 方法4的收敛性分析 四种迭代格式的计算结果见本课件P9! 取定初值x0=1.5，ε=1e-4, （四） 收敛阶（速度）的讨论 定义: p=1 —— 线性收敛； p=2