第五版传热学第四章.ppt

第四章 导热数值解法基础 第一节 建立离散方程的方法 第二节 稳态导热的数值计算 第三节 非稳态导热的数值计算 第四节 常用算法语言和计算软件简介 * * 本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 物理问题的数值求解过程 研究手段——有限差分法 数值法求解物理问题的计算机原理： 节点方程 计算结果 运算中枢 临时存贮单元 输入设备 输出设备 决定待运算数据的存贮量 决定数据的运算速度 存贮器 一、区域和时间的离散化（以二维导热为例） 网格 内节点 边界节点 微元体 空间步长：Δx，Δy 时间步长： Δτ 网格细密程度对求解过程的影响 细密 稀疏 结果更精确， 但运算时间长 运算时间短， 但结果误差较大 网格细密程度应合理选择 二、建立离散方程的方法 用节点（i,j）的温度来表示节点（i+1,j）的温度： 1.泰勒级数展开法 ——即将 转换为差分格式 移项整理，得： ——向前差分 0（Δx）——截断误差 用节点（i,j）的温度来表示节点（i-1,j）的温度： 移项整理，得： ——向后差分 （1）式减（2）式，得： ——中心差分 （1）式加（2）式，得： 同理可得： 二维稳态导热离散方程： 正方形节点时， Δx＝Δy，离散方程为 ： 2.热平衡法 ——对每个节点所代表的元体用傅立叶定律直接写出其能量守恒表达式 由微元体四个方向导入微元体的热量分别为： 根据能量守恒定律： 将四式相加并除以 ΔxΔy，即得到 ： 与泰勒级数展开法 结果完全相同 一、内节点离散方程的建立 常物性、无内热源的二维稳态导热中，均分网格的表达式： 对于每个内节点，差分方程均可写出，但尚需补充边界节点 的差分方程，才能得到描述整个导热问题的完整方程组。 由于泰勒级数展开法对复杂情况的处理存在困难， 边界节点差分方程一般用热平衡法来建立。 二、边界节点离散方程的建立 ——以右边界为例 边界 1.第一类边界条件： 2.第二类边界条件： Δx＝Δy时简化为： 绝热边界： 3.第三类边界条件： Δx＝Δy时简化为： 其他情况的节点方程 ——见教材表4－1 外拐角与内拐角节点 对流边界内部拐角节点热平衡： 节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点 Δx＝Δy时简化为： 数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程 三、节点离散方程组的求解——迭代法 迭代法的原理 离散方程组的求解方法 消元法——方程过多时计算机内存不足 迭代法 假定初值 根据假定的初值求新值， 并重复此步骤若干次 两次计算值足够接近， 认为达到真实值 简单迭代法——每次迭代时使用上次迭代的结果 ε ——允许误差 简单迭代法的缺点 ——由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值， 使运算过程接近真实值的时间增加 高斯－赛德尔迭代法 ——将本次迭代的必威体育精装版结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值 高斯－赛德尔迭代法的优点 ——由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值， 使运算过程接近真实值的时间缩短 一、显式差分格式 研究对象——一维非稳态导热问题 一维非稳态导热内节点差分方程： 移项整理后得到： 优点——可根据kΔτ时刻温度分布直接计算(k+1)Δτ时刻温度分布 缺点——选择Δx和 Δτ时必须满足稳定性条件 或 二、隐式差分格式 一维非稳态导热内节点差分方程： 或可写成： 节点(i,j)处新值依赖于相邻节点新值， 未知值间相互耦合，方程组必须联立求解 优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔτ时刻温度分布直接计算(k+1)Δτ时刻温度分布 一、常用算法语言 1.FORTRAN语言 ——Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。 2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合起来的应用程序设计语言。 3.C＋＋ —— C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计语言，数值计算软件主要使用的语言。 二、常用计算软件 matlab软件主界面 1.MATLAB——矩阵计算软件 *