第五章——量纲分析和相似原理.ppt

* 5.1 量纲分析 1. 量纲分析基础 量纲——用以度量物理量单位的种类，用dim表示 。代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。 基本量纲——国际单位制中7个基本物理量的量纲。 [L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N] ——量纲公式。a, b, c为量纲指数，量纲指数全为零时，B为无量纲量。无量纲量的值不随单位制改变 量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础 流体力学的常用基本量纲为[L]、[M]、[t]，其它任意物理量B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来 5-1 流体力学常用物理量的量纲 5.1 量纲分析 5.1 量纲分析 量纲齐次性原理：完整物理方程中各项的量纲必须相同。 以单位重量的流体沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例 方程左边各项的量纲依次为 对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方程无量纲化，从而减少方程的变量个数。 2. Π定理（白金汉定理） 对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写成数学表达式为：f(x1,x2,x3,…,xn)=0, 而这些变量含有m个基本量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组的表达式来描述，即 F(?1,?2, … ?n-m)=0 无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为： ……….. 5.1 量纲分析 应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤： （1）列与该物理现象相关的全部n个变量（2）找出基本量纲，设为m个（3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量 （4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组（5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程 【例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降?p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε 、管内流体密度?、流体的动力粘度? ，以及断面平均流速v有关。试用?定理推出压降?p的表达形式。 5.1 量纲分析 5.1 量纲分析 【解】 （1）该流动现象共有7个变量?p, d, l, ε, ?, ?, v （2）基本量刚为L， M，t，所以m=3 （3）选出m=3个基本变量： ?、v 、d （4）组成n-m=4个无量纲数组，求解 将上述表达式写成量纲形式 解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故 解得a2=-1, b2=-1,c2=-1, 故 解得a3=0, b3=0,c3=-1, 故 解得a4=0, b4=0,c4=-1, 故 5.1 量纲分析 （5）所解问题用无量纲数表示的方程为 5.1 量纲分析 上述公式还可以写成 对于给定长度和直径的管道 进行适当的变换后有 令 则 ——达西公式。?为沿程阻力系数。 5.1 量纲分析 3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数 （2）作用在流体上的力 压力 惯性力 黏性力 重力 表面张力 弹性力 5.1 量纲分析 （3）流体力学中常见的无量纲数组 ① 雷诺数 ② 欧拉数 ③ 弗劳德数 ④ 韦伯数 5.1 量纲分析 ⑤ 马赫数 ⑥ 毛细数 （4）量纲分析的物理意义 简化试验方案 物理量量纲的推导 校验方程 确定相似试验条件 5.2 相似原理与模型实验 为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。 （1）几何相似（空间相似） 1. 相似的概念 ——两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。 线性比例系数 面积比例系数 体积比例系数 基本比例常数 （2）时间相似 ——对应的时间间隔成比例 对图示的两种管内流动其平均速度变化的时间间隔成比例 5.2 相似原理与模型实验 （3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例 速度比例常数 加速度比例常数 流量比例常数 基本比例常数 5.2 相似原理与模型实验 （4）力相似 ——力场的几何相似，作用在流体上的各种力的方向对应 一致，大小成比例。如图所示 力比例常数 密度比例常数 基本比例常数 5.2 相似原理与模型实验 用基本比例常数表示的其他比例常数 质量比例常数 力比例常数 压强比例常数 运动粘度比例常数 动力粘度比例常数