第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法.ppt

对于轴对称问题，当单元采用等参四边形单元时，式5-81中的 有下列展开式： 式中： (5-82) (5-83) (5-84) (5-85) 式中：k?2、k?1、k、k+1为下标i、j、k、m 的代号，0为下标时表示平均值。 B、C、D 分别由式2-28和式2-36中对应A 、B 、G 的给出。 5.5 罚函数法 5.5.1 求解方程的建立 刚塑性有限元法的一个基本假设是体积不变，罚函数法从这一点入手，引入一个很大的正数乘以体积应变速率的平方，即： (5-86) 将此项添加到泛函中去，于是可将式 5-11 改写如下： (5-87) 当 在每一点的变化率都接近零时，这个泛函就取得最小值，这时所对应的速度场就逼近真实速度场。可以按照处理拉格朗日乘子法同样的步骤导出罚函数法的计算公式。 罚函数法与拉格朗日乘子法的不同之处在最后一项，下面只对这一项进行分析。令这一项为 ，即： 将上式写成矩阵形式为： 其中 因： (5-90) (5-88) (5-89) 将式 5-90 代入式 5-89 得： 对泛函变分后， 项为： 因 是一个数，故有 ，则 (5-91) (5-92) (5-93) 是节点的速度，可将其从积分号中提出，即： (5-94) 其中: 因泛函变分取得驻值时所建立的求解方程是速度的非线性函数，求解时 需采用摄动法对方程进行线性化，其中体积变化率这一项为： 在计算中如材料有硬化作用时，采用阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线，如下图所示。经这样的处理，变分时可将 k 视作常数，可从积分号中提出。计算中若忽略体积力，则泛函又可写成如下形式： (5-24) 注意上式中： 阶段硬化曲线来代替真实硬化曲线 5.3.1 离散化 假设变形体被划分为 M 个单元，N 个节点，由此可知： (5-25) 对于一个单元而言，可建立下列泛函： (5-26) 式中： V′单元的体积； S′单元的边界。 在单元内有： (5-27) (5-28) 其中 为单元节点的速度列阵。 将式5-27 和式5-28 代入式5-26 得到： (5-29) 令： （这里 [K]不是刚度矩阵） 对于一个单元来说，节点的速度 和 λ 都是定值。所以式5-29 可写成：