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第八章 因子分析 3、因子分析的目的： 因子分析的目的之一,简化变量维数,即要使因素结构简单化,希望以最少的共同因素(公共因子),能对总变异量作最大的解释,因而抽取的因子愈少愈好,但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好. 在因子分析的公共因子抽取中,应最先抽取特征值最大的公共因子,其次是次大者,最后抽取公共因子的特征值最小,通常会接近0. ★实例1 在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系,评价百货商场的24个方面的优劣. ＆但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务和商品的价格.因子分析方法可以通过24个变量,找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店进行综合评价.而这三个公共因子可以表示为： ＆称 是不可观测的潜在因子,称为公共因子.24个变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包含的部分 ,称为特殊因子.这就是个因子分析模型. 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异： 联系: (1)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题.(2)二者都是以“降维”为目的,都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发. 区别:(1)主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加以综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解,描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时,因子分析才对应变量变换.(2)主成分分析,中每个主成分对应的系数是唯一确定的;因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的.(3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限. （1） （2） （3） 在各公共因子不相关的前提下, (载荷矩阵中第i行,第j列的元素)是随机变量Xi与公共因子Fj的相关系数,统计术语叫做“权重”,它表示Xi依赖Fj的分量(比重). 由于历史的原因,在心理学中将模型(8.2.1)中的系数 叫做“载荷”,即第i个变量在第j个因子上的载荷(或负荷),反映了第i个原始变量在第j个公共因子上的相对重要性.因此 绝对值越大,则公共因子Fj与原始变量Xi的关系越强. (1)求解特征根 (2)求解单位特征向量： (3)因子载荷矩阵： (4)因子分析模型： 可取前两个因子F1和F2为公共因子,第一公因子F1物价就业因子,对X的贡献为1.55.第二公因子F2为投资因子,对X的贡献为0.85.共同度分别为0.987，0.706，0.706。 此方法是从 R 出发,是对主成分方法的一种修正.假定我们首先对变量进行标准化变换,则 R=AA’+D R*=AA’=R-D 称R*为约相关矩阵,R*对角线上的元素是 ,而不是1. 直接求R*的前p个特征根和对应的单位正交特征向量,得如下的矩阵： 方差矩阵未知，估计的方法有如下几种： （1）求解特征根： （2）对应的非0特征向量： （3）因子载荷矩阵表： （4）因子分析模型： （5）新的共同度： 因子旋转： 为什么要旋转因子？ 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使每个变量在尽可能少的因子上有比较高的载荷，让某个变量在某个因子上的载荷趋于1，而在其他因子上的载荷趋于0,即：使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。 奥运会十项全能运动项目 得分数据的因子分析 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表 通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑， 跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷， 可以称为短跑速度因子； 铅球， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子； 百