系统分析与设计中的数学方法.ppt

系统分析与设计中的数学方法 主要内容 频谱分析法 付氏级数、付氏积分、 典型信号频谱特性、离散付氏变换 统计分析法 随机变量及其概率分布、典型概率分布； 随机过程定义、相关函数 、谱密度； 线性系统对平稳随机过程的响应 频 谱 分 析 法 分析信号幅值与频率的关系，如何选取输入信号？ 一、付氏级数 付氏级数的定义：设有一周期函数f(t)，其周期为T，有 f(t)=f(t+T),若f(t)满足狄里赫利条件，即在区间T上有界，且 仅有有限个极大值和极小值，则f(t)可用收敛的付氏级数表示 统计分析法 工程设计中，会遇到非确定性信息处理问题。 确定函数→值是确定的（随时间变化） 不确定信号→值是不确定的，但有统计规律 例如，随机噪声干扰、输入信号的不确定性、噪声的 测量误差、船舶在不规则海浪中受到的干扰及运动等。 对以上信息必须进行定性和定量的分析，所用理论 就是统计分析的方法。他只能给出统计特性（概率分 布、方差等）。 用它来解决什么问题呢？ 解决以下四个方面的问题 建立系统随机输入和随机干扰模型 对于结构、参数确定的控制系统，完成随机输入和随机干扰下的输出统计特征计算、误差的概率分布及最大误差范围分析 对于结构确定的控制系统，根据随机控制理论来确定有效抑制随机干扰的控制系统的最佳控制参数 设计系统时，有效设计环节来抑制干扰并传递有用信息。对多回路系统，要确定各回路的有效带宽 一、随机变量及其概率分布 通过测量，可知某时刻 各 点波幅值 （i=1,2,…,k） （k各测量点测得的数据） 设在 时刻的 各组波幅值为：（每个时刻对 应一个随机变量） 对于t1时刻所测得k组数据，从中取出 n个波幅值为ξi。当k→∞时，其概率 ξ∈(-∞，∞)，对每一个ξ均有一个概率与之对应。 引入概率分布函数F(ξ)的概念 以ξ为横坐标，取波幅值在(-∞，ξ)的概率为F(ξ)。 对海浪而言，其波幅的平均值为0，因此 F(0)= F(-∞﹤ξ﹤0) = 0.5(即表示一半的波幅值在 -∞～0之间) 概率密度W(ξ)的定义 随机变量的统计特征值 均值 (数学期望值)：所有波幅可能取值得平均值。 其几何意义为W(ξ)质量中心的ξ坐标。 方差：随机变量偏离均值的程度。 二阶原点矩 ν阶中心矩： 二、典型概率分布 正态分布（高斯分布）(波幅函数ξ(t) 符合正态分布) 均匀分布 变量在a、b之间取值具有相同的概率分布其概率密度为 瑞利分布 一个连续性随机变量满足正态分布，而它的能量又分布在一个 很窄的频带上时，那么这个随机变量满足瑞利分布。 不规则海浪的波幅幅度ξm符合瑞利分布 引入多维随机变量概念 左图代表k个不同测试点所测 得的数据，不同时刻tj对应一个 状态变量（由k个值组成），对 应t1,t2,…,tj,…，就构成了多维 随机变量。 用向量来表示的多维随机变 量，称之随机向量。 每个xj皆为一个一维随机变量。 以二维为例： k维随机变量 的统计特征 均值(一阶矩) 协方差（二阶中心矩） 三、随机过程的定义 观察不同点处的波幅随时间的 变化 ，它 们不仅是测量点的随机变量，而 且还是时间的函数 称随时间变化而随机取值的时间 随机函数为随机过程。 需要采用随机理论进行定量定 性地分析，研究概率分布，确定 n维概率密度，进行大量的试验 测试和统计。 工程中，需要做一些假设，突 出主要矛盾，形成满足一定假设条 件的随机过程。 两种典型的随机过程 马尔科夫随机过程 随机过程未来的进展和我们所取得的某一开始的时刻有关，而与 这时刻以前的特性无关。 过去即使知道得再多，也无助于了解未来。 比较容易进行数学处理，且结果与实际比较吻合。 平稳随机过程 对于前一段的统计，可以很有意义地用来估计其未来的发展。其 本质特点是：概率密度函数的形状不随时间而变化。即:其形状不随 时间轴上的计时起点而变化。（许多工程实际符合该假设，海浪） 对第k个测量点 所决定的随机过程是平稳随机过程，则有两 组值 它们的概率分布函数相同，与时刻t、测量点位k及组数n无关。即： 平稳随机过