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《导数的几何意义》 说课稿 海南华侨中学 张红 2009-12-8 一、教材分析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修2－2中第§1．1．3节．作为导数概念的下位概念课，它是在学生学习了上位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数基础，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为下位内容——常见函数导数的计算，导数是研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用． 二、教学目标 【知识与技能目标】 （1）知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义； ——让学生感知和初步理解函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率，即=切线的斜率． （2）导数几何意义简单的应用． ——用导数的几何意义解释实际生活问题，初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想方法． 【过程与方法目标】 回顾圆锥曲线的切线的概念，复习导数概念，寻找在处的瞬时变化率的几何意义； 观察P7上探究问题，利用几何画板进行探究，由学生参与操作，发现割线变化趋势，分析整理成结论； 通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义； 高台跳水模型中，利用导数的几何意义，描述比较在，，处的变化情况，达到梳理新知的目的，渗透“以直代曲”的数学思想； 通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率． 【情感态度价值观目标】 经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图像的切线“形成”过程，获得函数图像的切线的意义； 利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣； 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心． 三、重点、难点 重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法． 难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解． 关键：由割线趋向切线动态变化效果，由割线“逼近”成切线的理解． 四、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 温 故 知 新 诱 发 思 考 1. 初中平面几何中圆的切线的定义； 2．公共点的个数是否适应一般曲线的切线的定义的讨论； 3．用幻灯片演示圆的切线和一般曲线的切线情形． 回顾：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？ 思考：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？ 提问：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 强调：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线． 教师提出三个层次的问题，由学生思考后回答，诱发学生对圆的切线定义的局限的反思； 借助幻灯片演示感知曲线切线定义的各种情形，为寻找切线的逼近定义提供“亲身”经历． 实 验 观 察 思 维 辨 析 演示实验：如图，当点（，，，）没着曲线趋近点时，割线的变化趋势是什么（借助几何画板由割线逼近成切线的过程）． 演示过程： 板书：1．曲线的切线的定义 当时，割线（确定位置）， PT叫做曲线在点P处的切线． 2．导数的几何意义 函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k．即 ． 1．交流讨论观察结果； 2．思考割线的斜率与切线的斜率有什么关系； 3．参与分析和推导函数f（x）在x=x0处的导数的几何意义． 1．让学生参与曲线的切的逼近发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义； 2．初步感知数学定义的严谨性和几何意义的直观性； 3．让学生利用已学的导数的定义，推出导数的几何意义，让学生分享发现的快乐． 观察发现 思维升华 板书：3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即 曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线（通过几何画板演示）． 1．教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法． 2．放大点P的附近，感受切线近似于曲线． 1．让学生直观感知：在点P的附近，PP2比PP1更接近曲线f（x），PP3比PP2更接近曲线f（x），……．过点P的切线PT最贴近P附近的曲线f（x）． 2．体会“以直代曲”． 学而习之小试牛刀 例1：求抛物线在点处的切线方程． 变式训练：过抛物线的点处的切 线平行直线， 求点的坐标． 1．引导学生分析：切线在切点A处的斜率应该是什么？ 2．由学生根据导数的定义式求函数在x=1处的导数，教师写出规范的板书； 3．提出变式训练． 1．初步体会导数的几何意义； 2．回顾用导数的定义求某处的导数； 3．设切点，由求知数来表示导数； 4．规范解题格式． 学 而 习 之 游 刃 有 余