矩阵可交换性质.doc

矩阵可交换的条件及其性质 摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法. 关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵 The Conditions For The Commutation Of Matrix and Some Properties Abstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core of the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced. Key words: Matrix； Commutation；The Commutation Of Matrix - 1 - 2 可交换矩阵的基本定义 - 1 - 3 矩阵可交换的条件 - 1 - 3.2 矩阵可交换的几个充要条件 - 3 - 4 可交换矩阵的性质 - 5 - 5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法 - 5 - 5.1 定义法 - 5 - 6 结论（结束语） - 9 - 7 致谢 - 10 - 参考文献 - 10 -  1 引言 矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指阶实方阵）. 2 可交换矩阵的基本定义 一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵有意义时，矩阵未必有意义；另一方面，即使矩阵、都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义. 定义2.1 对于两个n阶方阵 ,，若,则称方阵与是可交换的。 3 矩阵可交换的条件 3.1 矩阵可交换的充分条件 定理3.1.1 （1）设、至少有一个为零矩阵，则、可交换； （2）设、至少有一个为单位矩阵，则、可交换； （3）设、至少有一个为数量矩阵，则、可交换； （4）设、均为对角矩阵，则、可交换； （5）设、均为准对角矩阵，则、可交换； （6） 设是的伴随矩阵，则与可交换； （7）设是可逆矩阵，则与可交换; （8） 设，则、可交换. 证明： （1）对任意矩阵，均有：，表示零矩阵； （2）对任意矩阵，均有：，表示单位矩阵； （3）对任意矩阵，均有：，为任意实数； （4、5）显然成立； （6）； （7）； （8）当时，、均可逆，且为互逆矩阵. 定理3.1.2 (1) 设,其中,为非零实数,则,可交换; (2) 设,其中为正整数,为非零实数,则,可交换 证明 由可得 即 , 故依定理3.1.1得 , 于是 , 所以 ; 由得 , 故依定理3.1.1得 , 于是 , 所以可得 定理3.1.3 (1) 设可逆,若或或,则,可交换; (2) 设,均可逆, 若对任意实数, 均有,则,可交 换 证明 (1) 若,由可逆得, 从而,故 ; 若,同理可得 ,故; 若,则 ,故 (2) 因,均可逆, 故由得可逆, 且,则 两边取转置可得.或由 两边取逆可得. 3.2 矩阵可交换的几个充要条件 定理3.2.1下列均是A,B可交换的充要条件 ① ②; ③; ④ 证明：（1）由及 可证得； （2）由可证得； （3）分别由，两边取转置可证得； （4）分别由，两边取伴随可证得. 定理3.2.2 可逆矩阵,可交换的充要条件是. 证明 分别由,两边取逆可证得 定理3.2.3 ( 1) 设,均为(反) 对称矩阵, 则,可交换的充要条件是为对称矩阵; (2) 设,有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则,可交换的充要条件是为反对称矩阵 证明 (1) 设,均为对称矩阵