(一阶可分离变量)高等数学微积分.pptVIP

6.2.1 可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 * 6.2 典型的一阶微分方程. 转化 解分离变量方程 一、可分离变量方程 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 通解为 解 例 5 设一物体的温度为 将其放置在空气温 度为 的环境中冷却. 变化规律. 解 的 试求物体温度随时间 设物体的温度 与时间 的函数关系为 下面来求上述初值问题 其中 为比例常数. 的解. 根据冷却定律: 温度的变化率 物体 与物体和当时空气温度之差成正比, 建立该问题的数学模型: 再将条件 代入, 于是, 两边积分 得 其中 为任意常数 即 其中 从而 得 所求规律为 分离变量, 得 注： 物体冷却的数学模型在多个领域有着广泛的应 度推断这个人死亡时间, 算解决. 用. 例如, 法医要根据尸体当时的温 警方破案时, 就可以利用这个模型来计 例 6 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 解 例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 例 8 时, 解 则 已知 当 求 设 所以原方程变为 即 所以 故 1.分离变量法步骤: (1)分离变量; (2)两端积分-------隐式通解. 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P275,(6.1) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例5 , 例 6 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例7 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 2. 解微分方程应用题的方法和步骤 * * * * 例5 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量成正比,已知,求衰变过程中铀含量随时间变化的规律. 设函数和是连续的, 设函数和是依次为和的原函数, 设函数和是连续的, 设函数和是依次为和的原函数, 一、求下列微分方程的通解: 1、； 2、； 3、. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、,； 2、,. 三、质量的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 秒时,速度等于,外力为, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、小船从河边出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例).求小船的航行路 线 . 一、1、； 2、； 3、. 二、1、； 2、. 三、厘米/秒. 四、取0为原点,河岸朝顺水方向为,指向对 岸,则所求航线为.