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第二章 线性连续系统的运动分析 §2-1 线性系统的运动分析 证明(＊)式: ⒉ 矩阵指数eAt的性质 3. 强迫运动 §2-2 的计算方法 例: 已知系统矩阵 方法2: 无穷级数法 例: 已知系统矩阵 方法3: 特征值与特征向量法（特征值相异） 例: 试将状态方程 特征向量 定理 若A=(?ij)n?n有几个相异的特征值?1, ?1, ···, ?n , 则 求ek的一种方法 ?上述结论的原理: 特征值： 方法4: 待定系数法 (2) 矩阵指数函数eAt 的有限项表达式 解 (1) 求A阵的特征值 2) A阵具有n重特征值的情况 证明: 同上述理由，有 3) A阵同时具有重特征值和互异特征值的情况 化为规范形两例 例 已知系统矩阵 由状态转移矩阵求系统矩阵 3) 拉氏变换法 §2-3 Jordan规范形 用初等因子法确定J 例 : ?—矩阵的初等变换 求变换阵T 例: §2-4 模式激励与抑制 “模式”(“振型”)——本身的固有特性， 由A的特征值??i?决定。 2．模式激励与仰制 例 讨论图示电路中， 激励一个模式时的状态。 §2-5 线性时变系统的运动分析 2．状态转移矩阵Ф(t, t0)的性质 3. 强迫运动 4．Ф(t, t0) 的封闭解(解析解) 5．Ф(t,t0)的Neumann级数解 增广矩阵 检验： 对应?e只有一个约当块。 当对应?e有2个以上约当块时，由[?e-A] T1=0, 可解出不止一个独立的向量。 ?、?满足方程。 可取T1=? ， 但不能取T2=? ，这因为T2还要用于解方程(3)： （I+A)T3= T2 。 如果T2选得不当，非奇次方程(3)可能无解。 因?与?线性组合仍是方程(1)或(2)的解， 使得原系数阵(?eI-A)和其增广矩阵的秩相等； 否则，增广矩阵的秩大于系数阵的秩，方程(1)无解。 增广矩阵 ? 设??i?是相异的： 1．左特征向量fiT和右特征向量ei 由前面讨论， ei——与?i相对应的右特征向量，i=1, 2, 3, ??? , n 。 fiT——与?i相对应的左特征向量，i=1, 2, 3, ??? , n 。 ei——列向量； fiT——行向量。 可得： 指出了左特征向量 比较： 得到ei ，指出了右特征向量。 定理 设 有相异特征值 则 的解为: 证： ? 其中每一项，称为“模式”； 列向量 表示该振型的方向 标量 代表一个“振型” 标量 该振型的激发强度 称为振型分解。 ⑴ 实现的振型共有n个。相应于每个特征值?i有一个振型； ⑵ 任一个初始条件x(0)一般可激发现有振型， 而任一振型的激励强度fiTx(0)与其他振型无关； ⑶ 分解式 是唯一的。 ⑷ 如果只激发某一振型 模式抑制： 外加激励: ? 对A有异特征值 ?i (i=1, 2, 3, ??? , n)的情况， 有如下的振型分解性质： 由电路理论可得状态方程。 0.25? R3 R2 R1 1? 1? 1F 1F C1 C2 _ + + _ u1 u2 由此得： 两个独立回路，?1 = R1C1 = ?2 = R2C2 = 1 ( e-t/?=e-t) 0.25? R3 R2 R1 1? 1? 1F 1F C1 C2 _ + + _ 1V 1V 等效为： 4/9? 1F 1F _ + + _ 1V 1V 1/9? 1/9? ? 1F 1F _ + + _ 1V 1V 1/9? 1/9? ? 0.25? R3 R2 R1 1? 1? 1F 1F C1 C2 _ + _ 1V 1V + 1? 自由运动 ? 给出线性时变系统： 自由运动: 其解为 为状态转移矩阵; ——将状态 等价 （待证） 补证： 取转置即得。 证：由7)即得，具体证明留给大家。 对于线性定常系统: 假定 解为 根据以上分析，有 (3) 待定系数?i(t) (i=0, 1, ???,n-1)的计算公式 证明 根据剀利—哈密顿定理可知，A和?都是满足自身的特征方程，这就是说，A和?是可以互换的。 因此，A的所有特征值?1, ?2, ????n,都应满足eAt的有限项表达式，即有 解此方程组即得证。 例 已知系统矩阵等于 试用待定系数法