概率论1-2章重点.docVIP

第一章： 随机事件： 关系： A∪B=A+B A∩B=AB A∩B=∮，互斥 A∩B=∮，A∪B=S，对立，互为逆事件 运算： (A∪B)∪C= A∪(B∪C)， (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)， (A∪B)’=A’∩B’=A’B’ 概率： 注：P(AB)=0，AB=∮。 事件可并，概率得加。 不可能事件的概率为0，但反之不然。 两两互不相容的事件：P(A∪B∪C∪D)=P(A)+ P(B)+P(C)+P(D) P(A)’=1- P(A) P(A-B)= P(A)- P(AB)，若B属于A，则P(A-B)= P(A)- P(B)，P(A)≥P(B) P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)，若A,B互斥，则P(A∪B)= P(A)+P(B) 古典概型： 特征：随机试验只有有限个可能的结果；每一个结果发生的可能性大小相同。 从n个不同元素中任取k个的不同组合总数为：Cnk=n!/(n-k)!k!（有放回） 从n个不同元素中任取k个的不同排列总数为：Pnk=n!/(n-k)!（不放回） 条件概率： 在事件A发生的条件下，时间B的条件概率：P(B︱A)=P(AB)/P(A) 两两互不相容的事件：P(A∪B∪C︱D)=P(A︱D)+ P(B︱D)+P(C︱D) 乘法公式： P(AB)=P(A)P(B︱A)=P(B)P(A︱B) P(ABC)=P(A)P(B︱A) P(C︱AB) 全概率公式：转化为在不同情况或不同原因下发生的简单时间的概率的求和问题。 设A1,A2,…,An为一个完备事件组，且P(Ai)大于0，则对任一事件B有： P(B)=P(A1)P(B︱A1)+ P(A2)P(B︱A2)+…+P(An)P(B︱An) 贝叶斯公式：一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小。 设A1,A2,…,An为一个完备事件组，则对任一事件B，P(B)大于0，有： P(Ai︱B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai) P(B︱Ai)/∑P(Aj)P(B︱Aj) 独立性： 两个事件的独立性： 若 P(AB)=P(A)P(B)，则称A,B独立。 注：互不相容——一次随机试验中，两事件不能同时发生。 相互独立——一次随机试验中，一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响。 若A与B既独立，又互斥，则A与B至少有一个是零概率时间。 若A,B相互独立，且P(B)大于0，则P(A︱B)=P(A)，反之亦然。 若A,B相互独立，则A与B’，A’与B，A’与B’也相互独立。 有限个事件的独立性： 若 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，则A,B,C两两独立。 若 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则A,B,C相互独立。 若A1,A2,…,An (n大于2)相互独立，则其中任意k个事件也相互独立。 若A1,A2,…,An (n大于2)相互独立，则其中任意m个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。 伯努利概型： 随机试验只有两种结果：事件A发生或事件A不发生，则称伯努利试验，记： P(A)=p，P(A)’=1-p=q (0小于p小于1) 在相同条件下独立地重复进行n次，称伯努利概型。 特点：事件A在每次试验中发生的概率均为p，且不受其它各次试验中A是否发生的影响。 伯努利定理： A发生的概率为p，则在伯努利概型中，事件A恰好发生k次的概率为： B(k;n,p)=Cnkpk(1-p)n-k 设事件A发生的概率为p，则在伯努利试验中，事件A在第k次才首次发生的概率为： p(1-p)k-1 等价于：事件A在前k-1次均不发生而在第k次发生。 第二章： 随机变量： 特点： 在实验前只知道它可能取值的范围，不能预知它将取哪个值。 因试验结果的出现具有一定的概率，故取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。 离散型随机变量及其概率分布： 离散型随机变量： 设X为一个随机变量，若它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个。 概率分布/分布律/概率函数： P{X=xi}=pi, i=1,2,…(可以无穷) 两点分布： 随机变量X只有两个可能取值，P{X=x1}=p, P{X=x2}=1-p (0p1), 0-1分布：X服从x1=1, x2=0处参数为p的两点分布。 二项分布： 在n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，X表示事件A发生的次数，则X可能取0,1,…,n,且对每一个k(0≤k≤n)，事件{X=k}为“n次试验中事件A恰好发生k次”， 则：P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n 当n=1时，上式变为：P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0