2011-2012年高考数学一轮：第40讲.pptVIP

共 57 页 第四十讲　曲线和方程(轨迹问题)(文) 回归课本 1.曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点(完备性)，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)． 2．求曲线的方程的一般方法(五步法)：求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 3．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略． 4．定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程． 5．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为关于x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法． 6．参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程． 7．几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程． 8．交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程． 考点陪练 1.“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)＝0”是正确的，则下列命题中正确的是(　　) A．f(x，y)＝0表示的曲线是C B．坐标满足f(x，y)＝0的点都在曲线C上 C．曲线C的方程是f(x，y)＝0 D．曲线C是方程f(x，y)＝0所表示的曲线的一部分或全部 解析：通过本例可看出，一个方程称作曲线的方程或一条曲线称作方程的曲线，必须同时满足如下两个条件： (1)曲线上点的坐标必须都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 答案：D 答案：C 3．动点A、B在直线x＝－1上移动，设P(－4,0)，∠APB＝60°，则△APB的外心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：C 4．(2010·湖南师大附中高三模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．线段 B．抛物线的一部分 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分 解析：在平面ABB1A1内点P到BC的距离实际就是点P到点B的距离，这样问题转化为求平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，故选B. 答案：B 5．到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．抛物线 C．圆 D．直线或圆 答案：D 类型一　　对曲线与方程概念的理解 解题准备：1.(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)． (2)“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)． (3)由(1)(2)两个条件可知，曲线的点集与方程的解集之间是一一对应的． 2．判断曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转化和赋值讨论，它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性，因此，处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法(也可采用赋值法)． 【典例1】　如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确．那么，以下正确的的命题是(　　) A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0 B．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F(x，y)＝0 [答案]　D 探究1：过点P(0,2)且平行于x轴的直线l与方程|y|＝2所表示