2013年世纪金榜高中全程复习方略详细答案8.3.pptVIP

(3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几 何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取 得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2， 故 方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0, 即： ∴x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1, 【反思·感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论. 2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路. 【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则 的最大值为_____；最小值为_____. 【解析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜 率，所以设 ，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜 率k取最大值或最小值，此时 ,解得 .所以 的最大值为 、最小值为 . 答案： 【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求 (x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值. 【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4)的 距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为 ,所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的最 大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、 最小值为16. 方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，所以可设 ，则(x-2)2+(y+4)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2 =26+8sinθ-6cosθ =26+10sin(θ+β)(其中tanβ= ). 故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36； (x-2)2+(y+4)2的最小值为16. 与圆有关的轨迹问题 【方法点睛】 1.求轨迹方程的基本步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)； 第二步：写出适合已知条件的点M的集合P={M|P(M)}； 第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0； 第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式. 2.求与圆有关的轨迹方程的方法 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法 定义法 根据圆（或直线）的定义列方程求解的方法 几何法 利用圆的几何性质，得出方程的方法 找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法 代入法 【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别. 【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程. 【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程. 【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB 的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的坐标分 别为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以 ,化简得：x2+y2=a2. 方法二：设AB的中点坐标为(x,y),依题设知，AB的中点到原点 的距离为a,所以其轨迹为以原点为圆心，以a为半径的圆，其 方程为x2+y2=a2. 第三节 圆的方程 三年5考 高考指数:★★ 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程； 2.初步了解用代数方法处理几何问题. 1.圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点； 2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念； 3.题型多以选择题和填空题为主，属中低档题目. 1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_____的距离等于_____的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是：_____和_____. (3)圆的标准方程 ①两个条件：圆心(a,b), ______； ②标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2. 定点 定长 圆心 半径 半径r (4)圆的一般方程 ①一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0； ②方程表示圆的充要条件为：___________； ③圆心坐标 ,半径r= . D2+E2-4F＞0 【即时应用】 (1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 ______________； (2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ y-3=0的距离为__