2014世纪金榜第五章第二节.ppt

【变式训练】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=pnan(n∈N*)，a1=a2. (1)求常数p的值. (2)求证：数列{an}是等差数列. 【解析】(1)∵Sn=pnan,a1=a2， ∴a1=pa1?p=1. (2)由(1)知：Sn=nan， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, 整理可得(n-1)(an-an-1)=0, an-an-1=0(n≥2)， ∴数列{an}是等差数列. 考向 3 等差数列的性质及前n项和的最值问题 【典例3】(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4 +a8=16，则该数列前11项和S11=_______. (2)在等差数列{an}中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=________. (3)(2013·连云港模拟)已知在等差数列{an}中，a1=31，Sn是它的前n项的和，S10=S22. ①求Sn； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 【思路点拨】(1)利用等差数列的性质及Sn= 求解. (2)根据等差数列性质整体求解. (3)①利用等差数列的性质求解； ②利用二次函数思想或利用邻项变号法解决. 【规范解答】(1)由于{an}为等差数列，所以a1+a11=a4+a8=16, 所以S11= ×11=8×11=88. 答案：88 (2)由等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,所以a2+a4+a6 +a8=37×2=74. 答案：74 (3)①∵S10=a1＋a2＋…＋a10， S22= a1＋a2＋…＋a22，又S10= S22， ∴a11＋a12＋…＋a22=0， =0，即a11＋a22=2a1＋31d=0, 又a1＝31，∴ d＝－2， ∴Sn=na1+ =31n-n(n-1)=32n-n2. ②方法一：∵Sn=32n－n2=-(n-16)2+256， ∴当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由an=Sn-Sn-1，可得an=-2n+33. 由an=-2n+33≥0，得n≤ 由an+1=-2n+31≤0,得n≥ 又n为正整数，所以当n=16时，Sn有最大值256. 【拓展提升】 1.等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am-an=(m-n)d? =d(m≠n)，其几何意义是点(n,an)，(m,am)所在直线的斜率等 于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n=n(a1+a2n)=…＝n(an+an+1)； ②S2n-1=(2n-1)an. 2.解等差数列前n项和Sn的最值问题的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn，通 过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法： ①a10,d0时，满足 的项数m使得Sn取得最大值为Sm； ②当a10,d0时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 【变式训练】等差数列{an}前n项和为Sn，已知a1=13,S3=S11，当Sn最大时，n的值是_______. 【解析】方法一：S3=S11得a4+a5+…+a11=0，根据等差数列性质可得a7+a8=0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70,a80，故n=7时，Sn最大. 方法二：由S3=S11可得3a1+3d=11a1+55d，把a1=13代入得d=-2，故Sn=13n-n(n-1)=14n-n2，根据二次函数性质，当n=7时，Sn最大. 第二节 等差数列 1.等差数列的定义 (1)条件：一个数列从_______起，每一项减去它的前一项所得 的差都等于_______常数. (2)公差：常数叫公差，用字母d表示. (3)定义表达式：_______________. 第二项 同一个 an+1-an=d(n∈N*) 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= _________. 3.等差中项 若a,A,b这三个数成等差数列，那么A= .A叫做a和b的等 差中项. a1+(n-1)d 4.等差数列的前n项和公式 Sn= a1,d Sn= a1,an 前n项和公式 已知条件 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an+1=an+an+2.( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( ) (4)数列{a