2015年高考数学复习重点知识点90条.pptVIP

微积分的起源 芝诺悖论: 飞矢不动 瞬时速度 无穷级数 无穷级数 西尔维斯特（英国）James Sylvester (1814~1897) 雅可比（德国）Jakob Jacobi (1804~1851) 克莱洛（法国） Alexis-Claide Clairaut(1713~1765) 欧几里得自找麻烦地去证明…是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者，而这些人是以拒绝最明显的真理而自豪的。因此，象逻辑那样，集合必须依赖形式推理去反驳他们。 但是，一切都倒了个个，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了。 我还没有证明这个结果，但是，我能像肯定任何必然事物一样肯定它。在这个基础上，我们证明… 对不起，上节课假定的结果错了。让我们重新假设… 要达到像高斯那样的严密，我们没有时间！ 高斯(1812年): 无穷级数的收敛性 严密性使数学家们丧失了兴趣 数学危机------ 无穷小是什么？ 分析学需要严格化! 18世纪的数学家们一方面努力探索完善牛顿和莱布尼兹微积分的途径；另一方面又往往不顾基础问题的含混而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围。尤其是与力学的有机结合，已成为18世纪数学的特征之一。当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家。欧拉的名字同刚体运动和流体力学的基本方程相联系；拉格朗日最负盛名的著作是《分析力学》；拉普拉斯许多最重要的数学成果包含在他的五大卷《天体力学》中。分析学的广泛应用成为新思想的源泉，一系列新的数学分支在18世纪很快成长壮大起来。 § 7.2 微积分的应用与新分支的形成 常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题引出了一系列常微分方程。比较有名的如悬链线方程、等时曲线方程、正交轨线方程等。在经过一段对特殊技巧的探索之后，数学家们逐渐开始寻找适合这些方程的普遍解法。 经达莱布尼兹、欧拉和克莱洛的有关工作，到1740年左右，几乎所有求解一阶方程的初等方法都已知道。在常微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性 方程是“黎卡提方程”： .黎卡提基于变量替换的降阶 法后来成为处理高阶方程的主要手段.1728年，欧拉引进了著名的指数代换将三类相当广泛的二阶常微分方程化为一阶,这是二阶常微分方程系统研究的开始。 1743年，欧拉关于n阶常系数线性齐次方程的完整解法：对于n阶常系数方程： 欧拉利用指数代换 （ q为常数）得到所谓特征方程 : 7.2.1 常微分方程 当q是该方程的一个实单根时，则 是原微分方程的一个特解。当q 是特征方 程的k重根时，欧拉用代换 , 求得 为包含k 个任意常数的解。欧拉指出： n阶方程的通解是其n个特解的线性组合。他是最早明确区分“通解”与“特解”的数学家。 这种完整解法实现了高阶常微分方程求解的重要突破。18世纪常微分方程求解的最高成就是，拉格朗日在1774-1775年间用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程。 由解决一些具体物理问题而发展起来的常微分方程，在18世纪，已经成为有自己的目标与方法的新数学分支。 微积分在弦振动等力学问题中的应用则引导出另一门新的数学分支：偏微分方程。一般将达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端。该文明确推导出弦振动所满足的偏微分方程: 7.2.2 偏微分方程 1753年，丹尼尔·伯努利也发表了他的《弦振动问题新思考》，他假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数，从而弦振动问题所有可能的解都是正弦周期模式的迭加： , 并给出了形如 的通解。 欧拉、拉格朗日等在研究鼓膜振动与声音传播时还导出了二维和三维波动方程。 18世纪获得的另一类重要的偏微分方程是位势方程。拉普拉斯在1785年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状》中，引进了与引力分量具有偏导数关系的标量函数V， 它与引力分量Fx 、Fx、Fx之间有关系： ，并在球 坐标下推导了该标量函数V 满足的方程。稍后在1787年，他又给出了该方程的直角坐标 形式: