chap1多项式2013-2014-19.11.ppt

2° 多项式整除性的一些基本性质 补 例 补 例 例7 例7 １ 4 １ 解: ∵ 1　　０　　０　　０　　０　　０ 例7’.　把 表成 的方幂和． １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= １ 2 3 2 3 4 5= １ １ １ 1 3 6 １ 3 6 1 4 １ 4 1 1 10= 5= 10= 当然也可以 = . 例 8’ 求f(x), g(x)的最大公因式. 例8’’ 已知 例8’’ 例8 例8 例9 线性表出更易得出结论 例14 * 高 等 代 数 选 讲 陈仁莲 2013-2014-1 EMAIL： renlianchen@126.com 电话参考书目 1. 高等代数考研教案（北大三版） 徐仲等编 西北工业大学出版社 2. 高等代数精选题解 杨子胥 高等教育出版社 3. 高等代数解题方法与技巧 李师正等 高等教育出版社 4. 高等代数中的典型问题与方法 李志慧等 科学出版社 5. 高等代数辅导与习题解答 王萼芳等 高等教育出版社 6. 高等代数定理·问题·方法 胡适耕等 科学出版社 7. 研究生入学考试考点解析与真题详解 –高等代数 电子工业科学出版社 第一章 多项式 一元多项式可归纳为以下四个方面： 1. 一般理论： 包括一元多项式的概念、运算、导数及基本性质 4. 根的理论： 包括多项式函数、多项式的根、代数学基本理论、有理系数 多项式的有理根求法、根与系数的关系等 2. 整除理论： 包括整除、最大公因式、互素的概念和性质 3. 因式分解理论： 包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数 与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等 重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 的存在表示定理、因式分解的唯一性定理 一 基本知识 如果复数的一个非空集合P含有非零的数（当然也含有0），且其中任意两 个数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于这个集合（称为对运算封闭）， 则称P为一个数域。 1. 数域的概念 2. 常见的数域：有理数域Q、实数域R、复数域C 数域中有无穷个元素 注： 1) 定义 个非负整数，形式表达式 设 是一个符号（或称文字）， 是一 称为数域P上的一元多项式． 其中 等表示． 常用 2、一元多项式 2)多项式的相等 若多项式 与 的同次项系数全相等，则 称 与 相等，记作 系数，n 称为多项式　　 的次数，记作 ③ 若 ，即 ，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 区别： 零次多项式 多项式 中， 称为i次项， 称为i次项系数． ① 注： ② 若　　　 则称 为 的首项， 为首项 零多项式 3） 多项式的运算律： 满足加、减、乘、除及一些运算律 ① ② 若 则 3. 多项式的带余除法及整除性 1） 带余除法定理 则存在唯一的多项式 使得 设 ， ， ， 其中 或 ， —商, —余式 1° 若存在多项式 使得 设 ， ， ， 则称 ， 整除 记为 ， 为 的因式， 为 的倍数 2） 整除 2°性质 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 设f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x?b，若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0，余式r(x)=d。由除法的定义：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)( x?b)+d，经比较系数可得： ?   上面的关系可写为以下的形式： 3° 计算 ② 综合除法： ① 带余除法： (普通除法或长除法或竖式除法) 设f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，g(x)=x?b，若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0，余式r(x)=d。由除法的定义：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)( x?b)+d，经比较系数可得： ?   上面的关系可写为以下的形式： ＋) 附1: 综合除法 的商式 和余式 可按下列计算格式求得： 这里， 若 则 除 4 最大公因式 1° ● 式 式 式 式 且最大公因式不唯一。 式 2°性质 1) 2) 3) , , i) 1．公因式: 若 满足: 且 2．最大公因式: 若 满足： ii) 若 ， 且 ，则 则称