§矩阵的特征值与特征向量.ppt

线性代数 * 方程组等问题，也都要用到特征值的理论. 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定 性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征 向量的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分 作下面的乘法得 引例 设 只是原像的倍数. 我们可以从映射的角度看待上述运算，即由二 阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量集合 R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则为： ??a ? R2 ? Aa ? R2 . 在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2 向量有些什么性质？ 从几何上看，像与原像在一条直线上，而 向 量 a3 的像 Aa3 就 不 具有这个性质. 我们把 a1，a2 称为矩阵 A 的特征向量， 数 -1 与 3 分别 称为a1，a2 对应的特征值. 那么，是否任何一 个方阵都有特征值与特征向量？ 特征值与特征 题. 这是本节要讨论的主要问 一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A是n阶矩阵,如果数 和n维非零列向量 x使 关系式 成立, 那么,这样的数 称为矩阵A的特征值,非零向量 称为A的对应于特征值 的特征向量. 注:n阶方阵A的特征值 ,就是使齐次线性方程组 有非零解的值, 即满足方程 的 都是矩阵 A的特征值. 称关于 的一元 n次方程 为矩阵A的特征方程. 称关于 的一元 n次多项式 为矩阵A的特征多项式. 定理4.1.1 (特征向量的求法) 设 为方阵A的一个特征值,则由方程 可求得非零解 , 那么 便是 A的对应于特征值 的特征向量, 且 A的对应于特征值 的特征向量全 体是方程 的全体非零解, 即设 为方程 的基础解系, 则A的对应于特征 值 的全部特征向量为 不全为0). 注意:特征向量不唯一. 一个特征向量对应一个特征值,但一个特征值 可以对应多个特征向量. 例4.1.1 求矩阵 的特征值和特征向量. 例4.1.2 求矩阵 的特征值和特征向量. 解: 即A的特征值为 当 时,解方程 由 得基础解系 所以 是对应于 全部特征向量. 当 时,解方程 由 得基础解系 所以对应于 全部特征向量为 不同时为0). 例 2 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E . 二、特征值与特征向量的性质 定理4.1.2 n阶方阵A与它的转置矩阵 有相同的特征 多项式和特征值. 定理4.1.3 设n阶矩阵 的特征值为 , 则有 例4.1.3 求证: n阶方阵A不可逆,当且仅当A有一个特征 值为零. (E + A)-1 即可得 A = E. 证毕 例 2 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E . 由 A2 = E 可得 (E + A)(E - A) = 0, 由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征 值, 即 |A + E| ? 0. 因而 E + A 可逆. 在 (E + A)(E - A) = 0 两端左乘 证明 例 3 设 ? 是方阵 A 的特征值. (1) 证明 ?k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 ???? = a0 + a1? + … + am?m , ??A? = a0E+ a1A + … + amAm , 证明 ???? 是 ??A? 的特征值. 　　 因 ? 是 A 的特征值, 故有 p ? 0 使 Ap = ?p. (1) Akp = Ak-1(Ap) = Ak-1(?p) = ?(Ak-1p)