- 1、本文档共71页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
代入初始条件,得 解得 因此, 故解在区域 内由初值唯一确定。 对于比较大的时刻,解还依赖于边界条件: 若令 则(3.18)化为 若令 则(3.19)化为 在(3.16)中取 得 由(3.20)和(3.22)得 从而, 的范围被延拓到 在(3.17)中取 得 在(3.18)中取 得 由(3.24)代入(3.25)得 从而, 的范围被延拓到 类似地进行下去,可得 (对所有 )和 (对所有 )。因此,对所有 和 ,解唯一确定。 例7. 求解初值问题 解. 由(3.16)和(3.17),有 由(3.23),得 由(3.26),得 再次使用由(3.20)和(3.27),有 持续进行下去,可得解 对所有 和所有 t 0. 1.6 解的先验估计 先验估计是各类数学物理方程或更一般的偏微分方程理论中的一个常用的方法,其基本点是:先假定所讨论的定解问题有解存在,然后导出应当满足的估计。 先验估计本身提供了关于解的有界性、渐进性等信息,由此可得到相应定解问题解的唯一性和稳定性,并可结合其他分析方法导出一些定解问题的存在性。 对一维波动方程的解,可导出一些简单的估计式: 例8. 设 u(x,t)满足定解问题(3.1)且 则对任何 成立 证. 由D’Alembert公式,有 由 模的三角不等式,有 即 即 作业 习题三(书P.67 ) 第1(1,4);3(1);4;12;15 题 过点(c,0)和(d,0)分别作直线 x=c-at 和 x=d+at。经过 t 时刻后,受到区间[c,d]上初值扰动影响的区域是 此区域内任一点(x,t)的依赖区域都全部或有一部分落在[c,d]内,故解在这种点的值与初始函数在区间[c,d]上的值有关。此区域外任一点的依赖区间都不会和区间[c,d]相交,故解在这种点的值与初始函数在区间[c,d]上的值无关。 注:两条直线 (常数)对一维波动方程的解起着重要的作用,这两条直线称为波动方程的特征线,所以行波法又称为特征线法。 这个区域 D 称为区间[c,d]上的影响区域。简言之,影响区域是那些使得解的值受到区间[c,d]上初始函数的值影响的点所构成的集合。 1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理 当弦受到外力 f(x,t) 作用而产生振动时,有如下非齐次方程的初值问题 由线性叠加原理可知,若 v(x,t), w(x,t) 分别为初值问题 的解,则 u(x,t) = v(x,t)+w(x,t) 是初值问题(3.4)的解。 初值问题(3.5)的解可由D’Alembert 公式(3.3)直接给出,因此,为求解(3.4) ,只需求解(3.6)。 对问题(3.6),若能设法将非齐次项消除,即将方程变为齐次方程,便可同样由D’Alembert 公式(3.3)得到解。 1.3.1 冲量原理(齐次化原理) 对问题(3.6)中的 是单位质量的弦上所受的外力,这是从初始时刻 t =0 一直延续到时刻 t 的持续作用力。 由线性叠加原理,可将持续作用力 f(x,t) 所引起的振动(即初值问题(3.6)的解),视为一系列前后相继的瞬时作用力 所引起的振动 的叠加,即 我们先来分析瞬时作用力 所引起的振动。 从物理的角度考虑,力对系统的作用对于时间的累积是给系统一定的冲量。所以在短时间间隔 内 对系统的作用可表示为冲量 ,这个冲量使得系统的动量有一改变量(因 是单位质量弦所受外力,故动量改变量在数值上等于速度改变量)。 若将 时间内得到的速度改变量看成是在 时刻的一瞬间集中得到的,而在 的其余时间则认为没有冲量的作用(即没有外力的作用),则在 时间内,瞬时力 所引起的振动的定解问题可表示为 为便于求解,设 则有 由上述分析可看出,欲求解问题(3.6),只需求解(3.7),而 即 这种用瞬时冲量的叠加代替持续作用力来解决定解问题(3.6)的方法,称为冲量原理,可归结为如下定理。 定理1. (齐次化原理)设 若 是初值问题(3.7)的解,则由积分(3.8)所定义的函数 w(x,t) 是初值问题 (3.6) 的解,其中 是参数。 证. 由(3.8)和含参变量积分的求导公式,有 代入(3.6)中的泛定方程和定解
您可能关注的文档
- 《论语》十则演示文稿.ppt
- 《识字》内容最实用.ppt
- 《诗经》两首氓梅河五中佟海燕.ppt
- 《诗经》两首常红艳.ppt
- 《诗经卫风氓》教学必修.ppt
- 《诗经》编定体制和内容.ppt
- 《语文园地二》2课时.ppt
- 《语言综合实验》数组与指针.ppt
- 《语文知识大全》精选首古诗词.ppt
- 《说和做记闻一多先生言行片段》.ppt
- 2025年中国五金制品行业市场发展现状及投资规划建议报告.docx
- 2021-2026年中国再生铅行业发展监测及投资战略规划研究报告.docx
- 2021-2026年中国中低碳锰铁市场供需现状及投资战略研究报告.docx
- 2021-2026年中国高速钢板材行业市场全景调研及投资规划建议报告.docx
- 2025年中国铆钉行业市场深度分析及发展前景预测报告.docx
- 中国铝镁合金行业市场全景评估及投资战略研究报告.docx
- 2025年中国智能电网及特高压行业市场调研分析及投资前景预测报告.docx
- 2021-2026年中国液化气市场竞争格局及投资战略规划报告.docx
- 2025年中国煤气行业市场运营现状及投资规划研究建议报告.docx
- 2025年中国铝合金市场竞争策略及行业投资潜力预测报告.docx
文档评论(0)