中南大学随机过程第一章.pptVIP

* 胡朝明 53－* 例(续) b)有放回摸球。 (X,Y)的联合分布率、 边缘分布率 (X,Y)的联合分布函数 0 1 pi. 0 1 p.j 1 Pij X Y 因pij＝pi.×p.j(i,j=0,1)， X与Y相互独立 * 胡朝明 53－* 连续型二维随机变量 若存在非负可积函数f(x,y)，使得二维R.V.(X,Y)的联合分布函数满足： 则称(X,Y)为连续型二维随机变量，并称f(x,y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合概率密度。 * 胡朝明 53－* 联合概率密度的性质 1）f(x,y)≥0； 如果一个函数f(x,y)具有性质1)、2)，则它一定是某个二维R.V.(X,Y)的概率密度。 3）在f(x,y)的连续点(x,y)处，有 4） 2） * 胡朝明 53－* 边缘分布函数 设二维R.V.(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)， FX(x)＝F(x,+∞)， -∞x+∞ 称为R.V.X的边缘分布函数。 FY(y)＝F(+∞,y)， -∞y+∞ 称为R.V.Y的边缘分布函数。 设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)， ， -∞x+∞ 称为R.V.X的边缘概率密度函数。 ， -∞y+∞ 称为R.V.Y的边缘概率密度函数。 * 胡朝明 53－* 条件概率密度与条件分布函数 fY|X(y|x)＝f(x,y)∕fX(x)，-∞x+∞,-∞y+∞ 称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件概率密度。 fX|Y(x|y)＝f(x,y)∕fY(y)，-∞x+∞,-∞y+∞ 称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件概率密度。 称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件分布函数。 称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件分布函数。 * 胡朝明 53－* 相互独立 如果二维R.V.(X,Y)对任意的x,y有 P{Xx,Yy}＝P{Xx}P{Yy} -∞x+∞，-∞y+∞ 等价地有 F(x,y)＝FX(x)FY(y) -∞x+∞，-∞y+∞ 则称R.V.X与Y相互独立。 显然，对连续型二维R.V.(X,Y)，X与Y独立的 充分必要条件是对连续点有 f(x,y)＝fX(x)fY(y) -∞x+∞，-∞y+∞ * 胡朝明 53－* 例 已知R.V.(X,Y)服从二维指数分布，其联合密度为 其中， ?、?是大于零的常数，求：联合分布函数、边缘分布函数、边缘概率密度、条件概率密度，并讨论X与Y的独立性。 解： R.V.(X,Y)的联合分布函数为 * 胡朝明 53－* 例（续） 边缘分布函数为 边缘概率密度为 * 胡朝明 53－* 例（续） 由于 f(x,y)＝fX(x)fY(y)，(x,y)?R2， 所以，X与Y相互独立。 条件概率密度为 * 胡朝明 53－* 七、n维随机变量 如果X1, X2, …, Xn是定义在同一概率空间 (Ω,F,P)上的n个随机变量，则称(X1, X2, …, Xn) 为二维随机变量，记为n维R.V.(X1, X2, …, Xn )。 n维联合分布函数 k维边缘分布函数 独立 推广： * 胡朝明 53－* 八、随机变量函数的分布 设(X1, X2, …, Xn )为n维随机变量，若已知其 联合分布，又设有k个X1, X2, …, Xn的函数 其中gi(.) (i=1,2,…k)均为n元连续函数，讨论(Y1, Y2, …, Yk )的联合分布 一般方法：n重求和或n重积分。 * 胡朝明 53－* 定理 设连续型R.V.X的概率密度函数为f(x)，x?R， y＝g(x)是连续函数，则Y＝g(X)是连续型R.V.，其分布函数为 R.V.Y的概率密度为fY(y)＝F’Y(y)，y?R。 * 胡朝明 53－* 定理 设连续型R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)， g(x,y)是连续函数，则Z＝g(X,Y)是连续型一维R.V.，Z的分布函数为 概率密度函数为 * 胡朝明 53－* 定理 设R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为fX,Y(x,y)，如果u＝ g1(x,y)和v＝ g2(x,y)是连续函数，且满足下列条件： 存在唯一的反函数 有连续的一阶偏导数； 变换行列式（雅可比行列式） 则二维R.V.(U,V)的联合概率密度为 fU,V(u,v)=fX,Y[h1(u,v),h2(u,v)]|J|。 * 胡朝明 53－* 例 已知离散型R.V.(X,Y)的联合概 率分布如右表所示，求 (1) Z1＝X＋Y； (2) Z2＝max(X,Y) 的分布律。 解： Z1的分布律和Z2的分布律如下： 0 1 0 1/4 1/4 1 1/4 1/4 X Y Pij Z1＝X+Y 0 1 2 P 1/4 1/2 1/4