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习题课 一、主要内容 * * 函数概念及性质； 极限概念与性质,求极限的方法； 连续函数的概念、性质及应用． 第一章 习题课 函 数 的定义 反函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 (一)函数 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的运算 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 极限 的性质 无穷小 两者的 关系 无穷大 (二)极限 2．利用极限的四则运算法则及复合运算法则. 6．利用夹挤定理; 利用单调有界准则及解方程． 8．利用等价无穷小代换． 10.利用递推公式;合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧． 13.利用函数极限与数列极限的关系,即若 1．利用极限的定义求证极限. 3．利用无穷小的运算法则． 求极限的一般方法 4．利用无穷小与无穷大的关系． 7．利用两个重要极限公式． 9．利用函数的连续性． 左右连续 在区间[a,b] 上连续 闭区间上 连续函数的性质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 (三)连续 例1 解 二、典型例题 例2 解 利用函数表示法的无关特性 代入原方程得 代入上式得 联 立 方 程 组 例3 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 例4 解 例5 解 例6 解 讨论: 例7 证 由零点定理知, 综上, 例8 例9 证毕 高等数学Ⅰ 高等数学Ⅰ 高等数学Ⅰ 高等数学Ⅰ 高等数学Ⅰ 设 f (x)在(a, b)内连续，x1, x2 ,…, xn是 (a, b) 证：记 ∵ f (x)在(a, b)内连续, ∴ f (x) 在[ x i , x j ]上连续. x1, x2……xn ∈[xi , xj] 由最值定理: f (x)在[xi ,xj ]上达到最大值 M=f (ξ1), 最小值 m=f (ξ2) 内任意值，证明存在一点ξ∈(a, b)使 续 设 f (x)在(a, b)内连续， 是(a, b)内任意值, 证明存在ξ∈(a, b)使 测 验 题 * *