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量子力学教程(第二版) 量子力学教程（第二版） 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 量子力学教程 量子力学教程 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 量子力学教程 量子力学教程 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 量子力学教程 第 5 章 中心力场 中心力场的特征： 中心力场是球对称场，势V(r). 几种特殊中心力场： 万有引力场 库仑场 －后者在原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 无限深球方势阱 －两者在原子核结构中常用 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 中心力场中运动粒子的特征： 角动量守恒 即 但 彼此不对易，由此得出： 能级必是简并的（角动量为零的态除外） 5.1.1 角动量守恒与径向方程 一、角动量守恒 在经典力学中，在中心力场V(r)中运动的粒子（质量 为m ）,角动量 是守恒量.因为 二、径向方程 设质量为m的粒子在中心势V(r)中运动，则 Hamilton量表示为 对易关系 （2） （角动量守恒） 在球坐标系下，能量本征方程可写成 离心势能项 的共同本征态 构成守恒量的完全集合 ? 取为 代入方程（1），得到径向方程 令 则 满足 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并. 5.1.2 径向波函数在r→0邻域的渐进行为 假定V(r)满足 此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成 在正则奇点r=0邻域，设 ,代入（9）式得 解得 即 当r → 0时， (10) (11) 按照波函数的统计解释，在任何体积元中找到 粒子的概率都应为有限值 当r → 0时，若 ，则要求 因此，当l≥1时， 解必须抛弃. r → 0处只有 的解才是物理上可以接受的. （12） 等价地，要求径向方程(7)的解 满足