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【解析】设P、Q分别从A、B同时出发,那么经过t秒,四边形APQC的面积为S, 则S= ×AB·BC- ×BP·BQ = ×12×24- ×(12-2t)·4t, ∴S=4t2-24t+144 =4(t-3)2+108, ∴当t=3 s时,四边形APQC的面积最小. 答案:3 4.(2010·临沂中考)如图,二次函数 y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A(- ,0)、 B(2,0)两点,且与y轴交于点C; (1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状; (2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标; (3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)根据题意,将A(- ,0),B(2,0)代入 y=-x2+ax+b中, 得 解这个方程组,得a= b=1, ∴该抛物线的解析式为y=-x2+ x+1, 当x=0时,y=1, ∴点C的坐标为(0,1),∴在△AOC中, 在△BOC中, ∴△ABC是直角三角形. (2)点D的坐标为( 1). (3)存在.由(1)知,AC⊥BC. ①若以BC为底边,则BC∥AP, 如图1所示,可求得直线BC的解析式为 y= +1, 直线AP可以看作是由直线BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y= +b, 把点A( 0)代入直线AP的解析式,求得b= ∴直线AP的解析式为y= ∵点P既在抛物线上,又在直线AP上, ∴点P的纵坐标相等,即 解得 ②若以AC为底边,则BP∥AC,如图2所示. 可求得直线AC的解析式为y=2x+1. 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的, 所以设直线BP的解析式为y=2x+b, 把点B(2,0)代入直线BP的解析式,求得b=-4, ∴直线BP的解析式为y=2x-4. ∵点P既在抛物线上,又在直线BP上, ∴点P的纵坐标相等, 即-x2+ +1=2x-4, 解得x1= x2=2(舍去), 当x= 时,y=-9, ∴点P的坐标为( ,-9). 综上所述,满足题目条件的点P为( )或( ). 化归转化思想 化归思想是一种最基本的数学思想,用于解决问题时的基本思路是化未知为已知,把复杂的问题简单化,把生疏的问题熟悉化,把非常规问题化为常规问题,把实际问题数学化,实现不同的数学问题间的相互转化,这也体现了把不易解决的问题转化为有章可循,容易解决的问题的思想. 【例3】(2009·泉州中考)如图,等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙,另三边用长为40米的铁栏杆围成,设该花圃的腰AB的长为x米. (1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示); (2)若∠BAD=60°,该花圃的面积为S米2. ①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围),并 求当S= 时x的值; ②如果墙长为24米,试问S有最大值还是最小值?这个值是多 少? 【思路点拨】 【自主解答】(1)∵AB=CD=x米, ∴BC=40-AB-CD=(40-2x)米. (2)①如图,过点B、C分别作BE⊥AD 于E,CF⊥AD于F,在Rt△ABE中, AB=x,∠BAE=60°, ∴AE= x,BE= 同理DF= x,CF= 又EF=BC=40-2x, ∴AD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-x 解得:x1=6,x2= (舍去), ∴x=6. ②由题意,得40-x≤24,解得x≥16, 结合①得16≤x<20. 由①得, ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段, 其对称轴为x= ∵16> 由上图可知, * 数学思想方法是指现实世界的空间形式和 数量关系反映到人的意识中,经过思维活动产生的结果,是对数学事实与数学理论的本质认识. 数学思想:是对数学内容的进一步提炼和概括,是对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识,带有普遍的指导意义,是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想. 数学方法:是指从数学角度提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等. 数学思想和数学方法是紧密联系的,两者的本质相同,只是站在不同的角度看问题,故常混称为“数学思想方法”.初中数学中的主要数学思想方法有: ①化归与转化思想; ②方程与函数思想; ③数形结合思想; ④分类讨论思想; ⑤统计思想; ⑥整体思想; ⑦消元法; ⑧配方法; ⑨待定系数法等. 分类讨论思想方法 分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时,我们常常根据研
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