假设检验计算和证明题.doc

《数理统计》试题库 假设检验 1设取自正态母体其中为未知参数,为子样均值，对检验问题取检验的拒绝域:, 试决定常数c使检验的显著性水平为0.05. 解:因为所以 在成立下, , 所以 C=1.176. 2．设子样取自正态母体已知，对检验假设 的问题，取临界域. （i）求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系. （ii）设,求时不犯第二类错误的概率. 解: (i).在成立下, , 其中是N（0，1）分布的分位点。 在H1成立下,, = 当增加时，减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。 （ii）不犯第二类错误的概率为1-。 = 3．设一个单一观测的子样取自密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设： 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足，并求其最小值。 解： 设检验函数为 ( [C,1]为检验拒绝域） = 要使达到最小，当1-4x时,=0；当1-4x0时, =1. 所以检验函数应取 , 此时 . 4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？ 解：母体， 对假设采用U—检验法， 在H0为真下，检验统计量观察值为时临界值。 由于， 所以接受， 即不能否定这批产品指标为1600小时 5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平 。 解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量，则未知，。 检验假设。 从母体中取了容量为100子样，近似服从正态分布，即：。 因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值 ， 。 由于。 所以拒绝原假设即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。 6. 有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4 试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效? 解：设新安眠剂疗效为随机变量，则未知，。 检验假设， 从母体中取了容量为7子样，近似服从正态分布，即：。 因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值 ， 。 由于。 所以接收原假设，即新安眠剂未达到新的疗效。 7．设 X1,X2,--- ,Xn为取自总体X ~的简单随机样本，其中0为已知常数，选择统计量U = ，求的1-的置信区间。 解：由于U = 服从(n)， 于是 故 的1-的置信区间 。 8．在某校的一个班体检记录中，随意抄录 25 名男生的身高数据，测得平均高为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差的 0 .95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。 解：由题设 身高X~N（），n=25，。 先求的置信区间（未知）取 ，故置信区间为： (170)=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94) (2). 的置信区间（未知）取 故的0.95置信区间为 的0.95置信区间为 . 9．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取多大的样本容量n? 解：以X表示反应时间，则为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05, 用样本均值估计 当n充分大时，统计量近似服从标准正态分布N（0，1），根据条件，要求样本容量满足 . 即 即应取样本容量n为96或97。 10．设 X1,X2,---, Xn为取自总体X的简单随机样本，试证: S2 =（其中）是D(X) 的无偏估计。 11．设 X1,X2,--- , Xn为取自总体X~ P()的简单随机样本，对任一数值，（01），试证：+(1-)S2是 的无偏估计. 其中:, S2 = 12．设从均值为,方差为的总体中，分别抽取容量为 n1 , n2的两个独立样本，1和2分别为两样本的均值，试证对于任意常数a, b, (a+b=1), Y=a1+b2也是的无偏估计，并确定常数a, b, 使 D(Y) 达到最小. 22．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值= 4.38 m .