刘兴坤毕业论文.doc

非周期函数的Fourier展开方法及其应用 刘兴坤 (陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学092班,陕西 汉中723000) 指导教师:王树勋 [摘要]主要讨论如何将定义在[a,b]满足Dirichlet条件的非周期函数展成的Fourier级数.在不同的方法中加以利用. [关键词]函数;Fourier级数;Dirichlet条件；延拓 引言 通过对周期函数的Fourier展开的学习,对周期函数的Fourier展开进行研究,发现对于非周期函数并没有展开式,所以,运用周期延拓,变换等手段给出在任意区间上的函数的Fourier展开方法与公式. 1引 理 若在整个数轴上 = 且等式的右边级数一致收敛，则有如下关系式： 2定理1 设的周期为,在区间上作变换,则 所以定义在上的周期为的函数.就有 , 代回变量,即 相应的Fourier系数为 ==(n=0,1,2,…)， ==，(n=1,2，…). 例1 将= 展开为Fourier级数. 解 令，计算的Fourier系数： = = 对n=1,2,…，利用分部积分法 === ===， 于是得到的Fourier级数 +. 3定 理1 3.1设,,且满足Dirichlet条件，则可以展成Fourier级数： 其中为常数 (n=0,1,2,…)， (n=1,2,…). 当为的连续点时，该级数收敛于；当为的间断点时， 该级数收敛于; 当时， 该级数收敛于. 证明 作变换,则,当时, ,且： 其中: = = = = = (n=0,1,2,…)， 同理可得： = (n=1,2,…). 由于当为的连续点时，==, 故当为的连续点时该级数收敛于; 当为的间断点时，该级数收敛于; 当时，由于, , 故此时该级数收敛于. 3.1.1 该定理把定义在上的非周期函数展成了Fourier级数，且给出了它的展开公式。 3.1.2 公式中的为任何一个常数，当取不同的值时，可以得到的无穷多个展开式，从而说明：定义在上的函数的Fourier展开式不是唯一的。 3.1.3 特别的,取的一些特殊值,可得的一些常见的展开式: ? 令=得的Fourier展开式为: 其中: = (n=0,1,2,…)， = (n=1,2,…). ?令=得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,…)， = (n=1,2,…). ? 令,得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,…)， = (n=1,2,…). ④ 令=，得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,…)， = (n=1,2,…). 3.1.4 定理中的区间还可以为开区间或半开区间，也可以为无穷区间。当区间为无穷区间时要求在该区间上绝对可积。 4 定理2 4.1 设非周期函数在上有定义，则函数 =， ，k=0… 称为非周期函数的周期延拓， 延拓后的函数在上是周期为2π的周期函数，并且在上有= 端点处收敛 例2 将函数 展开为Fourier级数. 解 所给函数满足Dirichlet条件. 拓展周期的函数的Fourier级数展开式在收敛于. === = = = = = (n=