初高中知识衔接及先修课程模板《311平行线分线段成比例定理》.doc

3.1相似形 1．通过类比平行线等分线段定理，掌握平行线分线段成比例定理； 2．运用平行线分线段成比例定理，理解并掌握三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段成比例定理的推论）； 3．理解并掌握三角形一边的平行线的判定定理（三角形一边平行线的性质定理1的逆定理）； 4．理解并掌握三角形一边平行线的性质定理2（相似三角形预备定理）； 5．在具体问题中，能灵活结合运用上述四个定理． 重点：平行线分线段成比例定理、三角形一边平行线的两个性质定理及判定定理的理解及运用． 难点：在具体问题中，灵活结合运用四个定理． 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线的性质定理2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 温馨提示 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重要和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的重要方法之一． 定理的基本图形 ∵l1∥l2∥l3 ∴ （1）对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应． （2）为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： ， 可以说成“上比下等于上比下” ， 可以说成“上比全等于上比全” ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 定理的基本图形 ∵DE∥BC， ∴ （1）图2—（1），图2—（3）称为“A”型，图2—（2）称为“X”型 （2）推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的判定定理是三角形一边平行线的性质定理1的逆定理． 如图2的三幅图中，若，则DE∥BC． （1）这个定理可以用来判定两条直线平行． （2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例． 4．平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线， 截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行． 它是一个假命题，如图3，其中AB=BC， DE=EF，则，但l1、l2、l3不平行． 5．三角形一边的平行线的性质定理2，这个定理也叫做相似三角形预备定理． （1）DE∥BC ， 这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上． （2）当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定理也成立． （3）图4是最基本的“A”型， 运用“A”型时常作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去． 如图5，在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，AD与BE交于点F，若AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF：EF的值． 解析：过E作EG∥BC交AD于G，则在△ADC中， 又∵ ∴ ∴ 设 EG=3x ， DC=7 x （x 0），则 ∵ ∴ DB= ∴ 又 ∵EG∥BC， ∴． 如图6，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD． 解析：∵ DE∥AB， EF∥BC ∴ 四边形BDEF为平行四边形， ∴ BD=EF 又∵ EF∥BC， ∴ ∴ ∴ 解之，得BD=cm． 求两条线段的比值或求线段长度，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，图形本身没有平行线，可添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值或线段长度． 如图7，A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED、BC∥FE． 求证：AF//CD． 分析：要证明AF//CD，应推导出能使AF//CD的比例线段， 由题中图形可知，应证明，而由AB//ED，