概率统计习题51.doc

5.1 总体与样本 内容提要 总体 在一个统计问题中,研究对象的全体称为总体,构成总体的每个成员称为个体。 若关心的是总体中每个个体的一个数量指标，则该总体称为一维总体，总体就是一个一维分布. 若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标,则该总体称为二维总体,二维总体就是一个二维分布.余此类推. 有限总体与无限总体 若总体中的个体数是有限的,此总体称为有限总体. 若总体中的个体数是无限的,此总体称为无限总体. 实际中总体中的个体数大多是有限的.当个体数充分大时,将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象. 样本 从总体中随即抽取的部分个体组成的集合称为样本,样本中的个体称为样品，样品个数称为样本容量或样本量. 样本常用n个指标值表示.它可看作n维随机变量,又可看作其观察值,这由上下文中加以区别. 4.分组样本 只知样本观测值所在区间.而不知具体的样本称为分组样本. 缺点:与完全样本相比损失部分信息. 优点:在样本量较大时,用分组样本既简明扼要,又能帮助人们更好地认识总体. 5.简单随机样本 若样本是n个相互独立的具有一分布(总体分布)的随机变量,则称该样本为简单随机样本,仍称样本. 若总体的分布函数为,则其样本的(联合)分布函数为 若总体的密度函数为,则其样本的(联合)密度函数为 若总体的分布列为{},则其样本的(联合)分布列为 习题与解答5.1 某地电视台想了解某电视栏目(如:每晚九点至九点半的体育节目)在该地区的收视率情况,于是委托一家市场咨询公司进行一次电视访查. 该项研究的总体是什么? 该项研究的样本是什么? 解 (1)该项研究的总体是该地区全体电视观众; (2)该项研究的样本是该地区被电话访查的电视观众. 2.为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况,我们调查了某地区30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪情况. (1)什么是总体? (2)什么是样本? (3)样本量是什么? 解 (1)总体是该地区2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪; (2)样本是被调查的30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪; (3)样本量为30名. 3.设某厂大量生产某种产品,其不合格品率p未知,每m件产品包装为一盒,为了检查产品的质量,任意抽取n盒,查其中的不合格品数,试说明什么是总体,什么是样本,并指出样本的分布. 解 总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数;样本是任意抽取的n盒每盒产品的不合格品数; 样本中每盒产品中的不合格品数为因,所以样本()的分布为 其中 假设一位运动员在完全相同的条件下重复进行n次打靶,试给出总体和样本的统计描述. 解 若以p记运动员打靶命中的概率,并以”1”记打靶命中,以”0”记打靶未命中,则总体为运动员打靶命中与否,该总体可由一个二点分布表示: X 0 1 p 1-p P 样本为由n个0或1组成的集合,若记,,样本()的分布为其中 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布,为了解其平均寿命,从中抽出n件产品测其实际寿命,试说明什么是总体,什么是样本 ,并指出样本的分布. 解 总体是该厂生产的电容器的寿命,或者可以说总体是指数分布,其分布为; 样本是该厂中抽出的n个电容器的寿命; 记第i个电容器的寿命为,则,,样本()的分布为,其中. 美国某高校根据毕业生返校情况记录,宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元,你对此有何评论? 解 毕业生返校记录是全体毕业生中的一个特殊群体(子群体)的一个样本,它只能反映该子总体的特征,不能反映全体毕业生的状况,故此说法有骗人之嫌. 7.设有n个产品,其中有m个次品.进行放回抽样.定义如下: 1, 第次取得次品 0, 第次取得正品 求样本的联合分布. 解 总体的分布列为 也可以写成 因此样本的联合分布为 其中. 8.设离散总体的分布列为现进行不返回的抽样, 为样本为样本均值,求与.(表示成N的函数). 解 由于N有限,抽样是不返回的,所以样本中诸的分布列与总体的分布列相同,但诸 间不相独立,即此样本不是简单随机样本,以下我们先求诸的期望,方差与协方差: 其中 代回原方差表达式,可得 由此可得样本均值的期望与方差 5.2 样本数据的整理与显示 内容提要 经验分布函数 若将样本观测值由小到大进行排列,得有序样本,用有序样本定义如下函数 0, 当, k/n, 当 1, 当 则称为该样本的经验分布函数. 格里纹科定理 设是取自总体分布函数为的样本, 是该样本的经验分布函数,则当时,有 此定理表明,当n相当大时,经验分布函数是总体分布函数的一个良好的近似.它是经典统计学的一块基石. 频数频率分布表 由样本数据