电磁场与电磁波演示验证实验1.doc

基于有限差分法的二维边值问题的数值分析 一、实验目的 1.掌握简单二维边值问题的分离变量求解方法； 2.通过有限差分法的实现来熟悉数值法的求解过程。 二、实验内容及步骤 具体参数为：盖板电位U=100V，其余三面电位=0，尺寸a=10，b=10； 求解矩形槽内电位函数分布 利用简单迭代法求解，与解析法结论对比，分析求解结果的精确度。分析过程至少包括：在网格尺寸为0.1和1两种条件下，两次迭代差值最大为10-10时的分析结论； 结论： 1.当网格尺寸为0.1时，可从上图中观察到电位函数分布基本与解析解一致； 2.当网格尺寸为1时，可从上图对比中看出与解析函数有较大误差； 3.尺寸取得越小，有限差分法取得的函数解越接近于解析解，可计算量会相应增大 3.利用超松弛迭代法分析，选择松弛因子，分析其对收敛速度（即迭代次数）的影响，并确定最优值。分析过程至少包括：在网格尺寸为0.1和1两种条件下，两次迭代差值最大为10-10时，松弛因子随迭代次数的变化，得到对应的最优松弛因子。 根据最佳收敛因子公式：2/(1+sin(pi/(p-1))),可求得网格尺寸为1时αopt1=1.5279;当网格尺寸为0.1时,αopt2=1.9391 结论： 1.当α取最佳收敛因子时，迭代次数最小，收敛速度最快. α越靠近最佳收敛因子，收敛速度越快. 三．附录 1.解析法程序： for k=1:length(n) for i=1:length(X) for j=1:length(Y) s(i,j)=z*sinh(n(k)*pi*Y(j)/a)*sin(n(k)*pi*X(i)/a)/n(k)/sinh(n(k)*pi*b/a); end end phai=phai+s; end %循环求解解析解 ： gridsize=0.1;%%nodenumx=a/gridsize;nodenumy=b/gridsize; %离散节点数 jingdu=10^(-10); %%求解精度num=0; %%迭代次数初始化 %%%%?赋初值 v1=zeros(nodenumy+1,nodenumx+1);v1(nodenumy+1,:)=ones(1,nodenumx+1)*U;v2=v1;%%前后两次迭代值 r=zeros(nodenumy-1,nodenumx-1); %迭代差值 d=3; %求解精度初始化任意大于精度的值while(djingdu) num=num+1; v1=v2; for I=2:nodenumy for J=2:nodenumx v2(I,J)=(v1(I,J+1)+v1(I+1,J)+v1(I-1,J)+v1(I,J-1))/4;%%简单迭代 r(I,J)=abs(v2(I,J)-v1(I,J)); end end d=max(max(r)); end 3．超松弛迭代法程序 for i=2:M for j=2:M+1 x(i,j)=j-1; end end y=x; %赋初值 flag=1;N=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; %迭代次数赋初值for z=1:11 while flag==1 for i=2:M for j=2:M b=0.25*(y(i-1,j)+x(i+1,j)+y(i,j-1)+x(i,j+1)); y(i,j)=x(i,j)+a1(z)*(b-x(i,j)); end end %循环迭代 if max(abs(x-y))werror flag=0; %跳出循环 end x=y;