第二章(矩阵).ppt

第二章 矩 阵 第一节 矩阵及其运算 小结 例 1 解 例 3 例 3 例4 线性方程组的矩阵形式 例6 设线性变换为 矩阵乘法的运算规律： (AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB), k为任意数 A(B+C) = AB + AC 定义（方阵的幂） 4. 矩阵的转置 性质： (1)　( AT)T = A (2) (A+B)T = AT+BT (A1+A2+…+Ak)T = AT1 +AT2+…+ATk (3) (kA)T = kAT (4) (AB)T = BTAT (A1A2…Ak)T = ATk ATk-1…AT1 例 8 对称矩阵：AT = A 第二节 初等变换与初等矩阵 第二节 矩阵的行列式与逆 定理 设A可逆，则它的逆是唯一的. 单位矩阵 I : 性质 设A, B 均为n阶可逆矩阵，数k≠0，则 1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A; 2. kA可逆，且 (kA)-1 = (1/k) A-1 ; 3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1A-1 ; 4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T. 例1 设方阵A满足A2 - A - 2I =O, 证明：A和I - A都可逆. 第三节 矩阵的分块 常用的几种分块方法： 特别地： 逆： 注意：只有方阵才能定义它的行列式. 性质：n阶方阵的行列式具有如下性质： （1） |AT| = |A| （2）k |A| =kn | A| （3）|AB| = |A| |B| 定义 如果n阶方阵A的行列式detA≠0,则称A为非奇异矩阵(或非退化矩阵),如果detA=0,则称A为奇异矩阵(或退化矩阵). 定理 设A,B都是n阶方阵，则AB为非奇异矩阵当且仅当A，B都为非奇异矩阵. 推论 设A,B都是n阶方阵，如果A为奇异矩阵，则AB和BA都为奇异矩阵. |A1A2…Ak | = |A1| |A2| … |Ak | 数a ≠0：a a-1 = a-1 a =1 矩阵A: A (?)= A ( ? )= I 定义 设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB = BA = I, 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1 = B. 若A可逆，则A-1存在，且 A A-1 = A-1 A = I. 二、矩阵的逆 1、定义 证 设有B和C 满足 AB = BA = I, AC = CA = I. 注意 若A, B均为方阵，且AB = I (或 BA = I), 则A可逆且B=A-1. 对角阵: I -1 = I 证 3: 4： 的伴随矩阵： 2、伴随矩阵 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann |A| = A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann A* = A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann . 其中Aij是行列式 中元素aij的 的代数余子式. 结论. 设A为n阶方阵(n ? 2), A*为其伴随矩阵, 则AA* = A*A = |A|I. 证明: AA* = |A| a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … … A1n A2n … Ann |A| = = |A|I. 0 … 0 0 0 … |A| 0 0 … … … … … 定理2.2. A A?1 = I 设A为n阶方阵, ? |A|?| A?1 | = |A A?1 | = |I| = 1 证明: (?) ? |A| ? 0. 则A可逆 ? |A| ? 0. 若n ? 2且|A| ? 0, 则A?1 = A*. 1 |A| n = 1时, A = a, a = |A| ? 0 (?) AA* = A*A = |A|I ? A?1 = a?1; n ? 2时, |A| ? 0 ? A?1 = A*. 1 |A