第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程.ppt

* 例 设U和V是不相关的实随机变量，并且均值 为0，方差相等为1， 复随机过程 是否是宽 平稳? * 解 所以复随机过程 是否是宽平稳的。 《随机信号分析》教学组 《随机信号分析》教学组 1.4 联合平稳随机过程 引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究， 但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随 机过程的统计特性。 如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程 所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信 号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究 两个过程的联合统计特性。 主要研究：联合分布函数(概率密度函数)和互相关函数。 * 一 两个随机过程的联合概率分布 设有两个随机过程 和 ,它们的概率密度 分别为 定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数： * 1）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的 全部统计特性也确定了。 注 2）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。 定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为： * 设有两个随机过程 和 ,它们的概率密度 分别为 两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数 满足: * 二 两个随机过程的数字特征（互相关函数） 已知两个随机过程 和 的m+n维联合分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各自的数字特征。 为了描述两个随机过程之间的相互联系，需要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特征是两个过程的互相关函数。 * 设两个随机过程 和 ，它们在任意两个时刻t1，t2的取值为随机变量 和 则定义它们的互相关函数为： 式中 是随机过程 和 的二维联合概率密度。 1 定义 * 随机过程 和 的中心化互相关函数（互协方差函数）定义为： 式中， 和 分别是随机变量 和 的数学期望。 此式也可以写成 * 2 两个随机过程的平稳性（严平稳和宽平稳） 若两个随机过程 和 的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关, 则称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。 联合严平稳（联合严平稳相依） * 两个随机过程 和 ，如果满足： （1） 和 分别宽平稳随机过程； （2）互相关函数仅为时间差 的函数，与 时间t无关，即 则称 和 为联合宽平稳或宽平稳相依。 联合宽平稳（联合宽平稳相依） * 联合宽平稳随机过程互相关函数的性质 (1) 证明： 说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。 互相关函数的影像关系 * (2) 证明： 则方程的系数应该满足 ,则有 由于 ， 为任意实数 展开得： 这是关于 的二阶方程。注意， 要使上式恒成立，即方程无解或只有同根， 所以， 同理， * (3) 证明： 由性质(2)，得 注意到 因此 （任何正数的几何平均小于算术平均） * （4）互相关系数 当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为： 互相关系数为： 又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。 注：显然 。 当 时，平稳过程 和 互不相关。 * 3 随机过程的联合遍历性（宽遍历） 两个随机过程 和 是联合宽平稳 (前提) 定义时间互相关函数为： 若 依概率1收敛于互相关函数 则称 和 具有联合宽遍历性。 即 * 4 两个随机过程独立、正交和不相关 正交 若两个随机过程 和 对任意两个时刻 t1, t2都具有 或 则称 和 互为正交过程。 不相关 若两个随机过程 和 对任意两个时